Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

13.10.Решите уравнение

sin ( x − α) = sin x − sin α.

13.11.Найдите решения уравнения

|cos 2 x | = |sin² x − а |

( а — действительное число), удовлетворяющие неравенству

0 ≤ x ≤ 2π.

Решите уравнения:

13.12.

13.13.(tg x + sin x ) ½+ (tg x − sin x ) ½= 2 tg ½ x cos x .

13.14.ctg 2 x + 3 tg 3 x = 2 tg x + 2/ sin 4 x .

13.15.sec x ² + cosec x ² + sec x ² cosec x ² = 1.

13.16.

13.17.4 sin x + 2 cos x = 2 + 3 tg x .

13.18.cos x = cos² 3 x / 4.

13.19.sin 4 x [2 + ctg x + ctg ( π/ 4− x ) = 2√2(1 + sin 2 x + cos 2 x ).

13.20.sin 4 x sin x − sin 3 x sin 2 x = ½ cos 3 x + (1 + cos x ) ½.

13.21.sin 4 x = m tg x , где m > 0.

13.22.sin x / 2(sin x + sin 2 x + ... + sin 100 x ) = ½ sin 101 x / 2.

13.23.sin² x + sin 2 x sin 4 x + ... + sin nx sin n ² x = 1.

13.24.4 cos x − 2 cos 2 x − cos 4 x = 1.

13.25.

13.26.sin³ x + cos³ x = 1.

13.27.cos² 3 x + ¼ cos² x = cos 3 x cos 4 x .

13.28.При каких значениях а уравнение

1 + sin² ax = cos x

имеет единственное решение?

Решите системы:

13.29.

13.30.

13.31.

13.32.

13.33.

13.34.

13.35.

13.36.

13.37.

13.38.

13.39.Найдите все пары чисел x , у , которые удовлетворяют уравнению

tg 4 x + tg 4 у + 2 ctg² x ctg² у = 3 + sin² ( x + у ).

13.40.Решите уравнение

sin² x + ¼ sin² 3 x = sin x sin² 3 x .

13.41.Решите уравнение

cos x + cos у − cos ( x + у ) = 3/ 2.

13.42.Найдите все пары чисел а и b , при которых для любых x и у, удовлетворяющих условию x + у = а (где x ≠ π/ 2+ n π, у ≠ π/ 2+ n π, n , m = 0, ±1, ±2, ...), верно равенство tg x + tg у + tg x tg у = b .

13.43.Найдите все пары чисел x и у , которые удовлетворяют уравнению

13.44.Решите уравнение

sin x + 2 sin 2 x = 3 + sin 3 x .

13.45.Решите уравнение

sin x (cos x / 4− 2 sin x ) + cos x (1 + sin x / 4− 2 cos x ) = 0

13.46.Решите уравнение

13.47.Найдите все значения x, удовлетворяющие одновременно следующим уравнениям:

cos 6 х + cos 8 х = 0, cos З х = 2 sin² 2 х

при условии, что | x | < 5.

13.48.Решите уравнение

13.49.Решите уравнение

13.50.Решите уравнение

2 tg x + tg x / 2+ 4 ctg 2 х = ctg З х .

13.51.Решите уравнение

Решите неравенства:

14.1.|sin x | > |cos x |.

14.2.1 − sin x + cos x < 0.

14.3.sin x − З cos x < 0.

14.4.2 cos 2 х + sin 2 х > tg x .

14.5.cos x tg 2 х ≤ 0.

14.6.6 + cos 2 х + 13 cos x ≥ |5 − 2 cos 2 х − 6 sin² x − З cos x |.

14.7.Найдите решения неравенства

sin 2 х > √2 sin² x + (2 − √2) cos² x,

лежащие в интервале (0, 2π).

14.8.При каких значениях α, 0 ≤ α ≤ π, уравнение

2 х ² − 2(2 cos α − 1) x + 2 cos² α − 5 cos α + 2 = 0 имеет различные действительные корни? Исследуйте знаки корней.

Решите неравенства:

14.9.

14.10.

14.11.

14.12.tg x tg 3 x < −1.

14.13.

14.14.Найдите все значения x из интервала 0 < x < π, удовлетворяющие неравенству

14.15.Докажите, что при любом а имеет место неравенство

4 sin 3α + 5 ≥ 4 cos 2α + 5 sin α.

14.16.Решите неравенство

a ² sin² x ≤ sin² 3 x , а > 0.

14.17.При каких значениях x и у выражение

(2 cos t + ½ cos x cos у ) cos x cos у + 1 + cos x − cos у + cos 2 t

положительно при всех значениях t ? Укажите, где на координатной плоскости расположены точки ( x , у ), удовлетворяющие этому условию.

Решите неравенства:

15.1.(log sin x 2)² < log sin x (4 sin³ x ).

15.2.

15.3.Найдите решения неравенства

log 2cos x > log 2tg x ,

удовлетворяющие условию 0 ≤ x ≤ π.

Решите неравенства:

15.4.4 log 16cos 2 х + 2 log 4sin x + log 2cos x + 3 < 0.

15.5.log |cos x + √3 sin x |½ > 0, если 0 ≤ x ≤ 2π.