Марио Ливио - φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания

Другой арабский математик, внесший свой вклад в историю золотого сечения, – это Абу Камил Шуджа по прозвищу аль-Хасиб аль-Мисри, что значит «вычислитель из Египта». Родился он около 850 года, вероятно, в Египте, а умер около 930 года. Он написал много книг, некоторые из которых, в том числе «Книга об алгебре», «Книга о редкостях искусства арифметики» и «Книга о геометрии», дошли до нас. Возможно, Абу Камил был первым математиком, который не просто искал решения задачи, а интересовался поиском всех возможных решений. В своей книге «О редкостях искусства арифметики» он даже описывает задачу, к которой нашел 2678 решений! Однако с точки зрения истории золотого сечения главное – что книги Абу Камила стали основой для некоторых книг итальянского математика Леонардо Пизанского, известного под прозвищем Фибоначчи, с которым мы скоро познакомимся. Трактат Абу Камила «О пятиугольнике и десятиугольнике» содержит двадцать задач с решениями, где ученый вычисляет площади фигур, длины их сторон и радиусы описанных вокруг них окружностей. В некоторых этих вычислениях, но не везде, он применяет и золотое сечение. Несколько алгебраических задач из «Алгебры» Абу Камила, вероятно, тоже вдохновлены понятием золотого сечения.

Последний исламский математик, которого мне хочется здесь упомянуть, – Мухаммад Абу-л-Вафа (940–998). Абу-л-Вафа родился в Бузгане на территории современного Ирана и жил в правление династии Буидов в западном Иране и Ираке. Эта династия достигла расцвета в царствование Адуда аль-Давла, который был горячим поклонником и покровителем математики, естественных наук и искусств. Абу-л-Вафа был среди математиков, которых в 959 году пригласили в Багдад ко двору Адуда аль-Давла. В его первом солидном труде – книге «О том, что нужно знать писцам, дельцам и другим в науке арифметики», по словам самого ученого, «содержатся все арифметические знания, которые необходимы ученику, подчиненному или начальнику». Интересно, что хотя сам Абу-л-Вафа был специалистом в применении индийских цифр, весь текст его книги написан вообще без цифр, одними словами, а вычисления проводятся только в уме. К Х веку индийские цифры еще не нашли применения в деловых кругах. То, что Абу-л-Вафа интересуется золотым сечением, видно из другой его книги – «О том, что необходимо ремесленнику из геометрических построений». В этой книге Абу-л-Вафа приводит изобретательные методы построения правильного пятиугольника и десятиугольника, вписывания правильных многоугольников в окружности и в другие многоугольники. Уникальную черту его работы составляет серия задач, которые он решает при помощи линейки (прямой, без делений) и циркуля, в котором угол между ножками зафиксирован (так называемый «ржавый циркуль»). Возможно, на этот жанр ученого вдохновило «Собрание» Паппа, однако не исключено, что такие решения просто отражают подход Абу-л-Вафы к практическим задачам: решения при помощи циркуля с фиксированным углом между ножками более точны.

Книги этих и других арабских математиков несколько углубили знания о золотом сечении, и их открытия сыграли важную, хотя и не очень большую роль. Как часто бывает в науке, подобные подготовительные периоды медленного прогресса необходимы для следующего прорыва. Великий драматург Джордж Бернард Шоу как-то выразил свое представление о прогрессе следующими словами: «Разумный человек приспосабливается к миру; неразумный – упорно пытается приспособить мир к себе. Поэтому прогресс зависит от неразумных людей». В случае золотого сечения квантовый скачок дожидался появления одного из самых выдающихся математиков Средневековой Европы – Леонардо Пизанского.

Этими словами Леонардо Пизанский (по-латыни – Leonardus Pisanus ), известный также как Леонардо Фибоначчи, начал свою первую и самую известную книгу – « Liber abaci » («Книгу абака»), увидевшую свет в 1202 году. Ко времени появления этой книги с индо-арабскими цифрами, которыми мы пользуемся сегодня, были знакомы лишь несколько привилегированных европейских интеллектуалов, взявших на себя труд изучить переводы книг аль-Хорезми и Абу Камила. Некоторое время Фибоначчи помогал отцу – отец Леонардо был чиновником по таможенным и торговым делам в городе Беджаи (на территории современного Алжира), а затем путешествовал и по другим средиземноморским странам, в том числе побывал в Греции, Египте и Сирии, так что у него была возможность изучить и сравнить разные системы записи чисел и методы проведения арифметических операций. В конце концов Фибоначчи пришел к выводу, что индо-арабские цифры, при помощи которых числа записывались в позиционной системе, гораздо лучше всех прочих, и первые семь глав своего труда посвятил объяснениям, что такое индо-арабские цифры и как применять их на практике.

Леонардо Фибоначчи родился в 1170 году в семье дельца и правительственного чиновника по имени Гильельмо. Прозвище Фибоначчи (от латинского « filius Bonacci », «сын семьи Боначчи» или «сын доброй матери-природы»), вероятнее всего, придумал историк математики Гийом Либри в примечании к своей книге «История математических наук в Италии», вышедшей в 1838 году ( Guillaume Libri . Histoire des Sciences Mathematique en Italie), хотя некоторые исследователи считают, что впервые это слово встречается у итальянских математиков конца XVIII века. В некоторых рукописях и документах Леонардо называет себя либо Леонардо Биголло (или Леонарди Биголли Пизани), где слово « Bigollo » означает что-то вроде «путешественник» или «важное лицо» – на тосканском и венецианском диалектах соответственно. Пиза XII века была оживленным морским портом, через который шла торговля и с материка, и из заморских стран. Дальневосточные специи проходили через Пизу на своем пути в Северную Европу, и их пути пересекались в порту с путями вина, соли и масла, перевозившихся в разные области Италии, Сицилии и Сардинии. В Пизе процветала кожевенная промышленность, козлиные шкуры для которой ввозили из Северной Африки, и по берегам реки Арно, на которой стоит город, часто можно было встретить дубильщиков, обрабатывавших кожи. Также город славился кузнецами и корабелами. Сегодня главная достопримечательность Пизы – покосившаяся башня, строительство которой началось в годы юности Фибоначчи. Очевидно, для всей этой бурной коммерческой деятельности нужна была обширная документация и учет запасов и цен. Несомненно, у Леонардо были возможности наблюдать разнообразных писцов за работой – он видел, как они составляли прейскуранты римскими цифрами и складывали числа на счетах-абаке. Арифметические действия с римскими цифрами – это вам не шутки. Например, чтобы получить сумму 3786 и 3843, нужно сложить MMMDCCLXXXVI и MMMDCCCXLIII. Ну как, громоздко? Это вы еще не пробовали умножать эти числа. Однако пока средневековым дельцам не приходилось выходить за пределы простого сложения и вычитания, им на худой конец годились и римские цифры. Римским цифрам, само собой, недоставало одной фундаментальной составляющей – позиционной системы, такой, в которой число, записанное как 547, на самом деле означает (5 × 10 2) + (4 × 10 1) + (7 × 10 0). Отсутствие позиционного принципа записи в Западной Европе преодолевали при помощи счетов-абака. Вероятно, слово «абак» произошло от древнееврейского слова « avaq » – «пыль», поскольку первые вычисления, по всей видимости, производились на доске, посыпанной песком, на которой палочкой выводили цифры. Во времена Фибоначчи это уже были более или менее привычные для нас бухгалтерские счеты с бусинами, которые ездили по проволокам. Разные виды счетов играли роль позиционной системы. У типичных счетов было четыре проволоки, бусины на нижней играли роль единиц, на второй снизу – десятков, на третьей – сотен и на четвертой – тысяч. Так что хотя при простых арифметических операциях счеты очень помогали (я был потрясен, когда во время поездки в Москву в 1990 году обнаружил, что на кассе в гостиничном кафе считают на счетах!), для более сложных вычислений они, конечно, совсем не годились. О том, чтобы подсчитать на счетах «миллиарды и миллиарды», о которых пишет популяризатор астрономии Карл Саган, не может быть и речи.