Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

— Значит, степень уравнения нельзя понизить?.. — воскликнул Илюша.

— Выходит, — ответил Мнимий, — что дальше уж нельзя.

С уравнением пятой степени было не просто полторы тысячи неудач, а нечто более серьезное: оказалось, что в этом роде задача не только не имеет решения, но и иметь не может. В работе Руффини еще не все было очень гладко, а через сравнительно короткий срок гениальный молодой математик норвежец Абель дал безупречное доказательство положениям Руффини. Затем Абель нашел еще новые подробности насчет алгебраических уравнений. Коротко это можно так изложить: если уравнение таково, что между его корнями существуют некоторые сравнительно несложные отношения, его можно решить в радикалах. Но, к сожалению, для уравнений выше четвертой степени такие свойства имеют многие отдельные виды уравнений, но отнюдь не все. Вскоре этой задачей занялся гениальный юный француз Эварист Галуа, погибший

— 457 —

на поединке с наемным убийцей, подосланным подлой полицией тогдашнего реакционного французского правительства. В ночь перед трагической гибелью юный математик набросал свою работу. А она увидела свет только через четырнадцать лет после того, как ранняя могила поглотила этого замечательного юношу. Ему было всего двадцать лет…

— А его работа была очень сложная?

— Даже весьма сложная! — отозвался Мнимий. — Многие вопросы и решения снова оказались связанными с той же самой симметрией, но в еще более хитроумном виде по сравнению с тем, о чем мы уже говорили. Введены были и некоторые новые крайне важные общие понятия, сыгравшие свою роль не только в алгебре, но обогатившие и другие разделы нашей науки. Самый процесс постепенного упрощения уравнений был изучен во всей сложности. Для целого ряда, казалось бы, неодолимых препятствий были придуманы обходные хитрые пути, а затем и они сами подверглись исследованию, изучению, так что весь этот раздел математики сам превратился в исследование того, как именно строятся методы решения задач и на чем они в сущности своей основаны. Методы Галуа дали результаты удивительные и неожиданные: если мы сейчас не только убедились на опыте, но и знаем, что с помощью линейки и циркуля невозможно решить кубическое уравнение, то доказано это было в точности только после Галуа. Уравнения любой степени, у которых все коэффициенты при неизвестном в любой степени вплоть до нулевой (то есть, значит, до свободного члена) равны единице — а это и есть общее уравнение деления круга (с одним из них мы познакомились в предыдущей схолии), — всегда решаются, потому что они могут быть сведены к целой цепи уравнений низших степеней. Это опять же до конца разъясняется тем же Галуа. Однако я могу привести только отдельные примеры, хотя и они очень убедительны. В этом направлении наука сделада гигантские шаги. И чем дальше ученый забирается в глубь строения своих методов, тем меньше ему служит то, что можно сразу охватить наглядно. Поэтому вопросы рассуждения, то есть логики, получают все большее и большее значение. Ну вот! Это приблизительно все, что мы способны вам рассказать из этой удивительной, но крайне трудной и весьма отвлеченной области науки [40] По этому вопросу см. книгу «Математика, ее содержание, методы и значение». М., АН СССР, 1956, т. I, статья Б. Н. Делоне «Алгебра», стр. 257-261. .

— Да, все-таки очень сложные формулы! — вздохнул Илюша.

— 458 —

— Да ими и не пользуются, — отвечал Мнимий, — имеются гораздо более доступные средства в дифференциальном исчислении.

— Ну-с, молодой человек, — выговорил степенно Радикс, — голова на месте?

— Кажется, на месте, — отвечал Илюша. — Трудно ужасно, так длинно!..

— Не так еще ужасно! — отвечал преспокойно Радикс. — А ты, кстати, видел, какую траекторию в пространстве описал тот советский спутник, который умудрился снять фотографию Луны с той ее стороны, которую с Земли не видно? Как ты полагаешь, очень легко было ее вычислить?.. Ну, а громадные турбины на гидростанциях, их рассчитать просто? А скоростные и высотные самолеты? А счетные электронные машины? Ведь это все необходимые и неизбежные устройства в нашем веке! А расчеты, касающиеся атома и всего его строения, так это еще во много-много раз труднее. Но люди, твои современники, одолевают! Да еще каждый день и каждый час идут вперед… Так что хочешь не хочешь, а поспевать всюду надо!

— Конечно, — покорно пробормотал Илья, — я ведь не спорю…

— Тогда чем же ты недоволен?

— Мне ужасно обидно, что я все-таки самого главного не понимаю! Не понимаю, и все!

— Ишь какой сердитый! — заметил Радикс. — Из-за чего ты так раскипятился?

Илюша даже раскраснелся от волнения.

— Не могу поверить, чтобы эти Мнимии были просто открытием. По-моему, они в то же время еще и чье-то изобретение…

— Видишь ли, — отвечал ему Радикс, — всякое открытие если и не изобретение, то путь к нему. Открытие явления электрической индукции кончилось сооружением динамо-машины, то есть изобретением. Оно было основано на использовании открытия об индукции. Здесь, в вопросе насчет Мнимия, дело обстоит несколько сложнее, а в общем довольно похоже. Человек, изучая алгебраические уравнения, натолкнулся на эти «странные» комплексные числа. Оказалось, что анализировать некоторые очень важные вопросы алгебры без них невозможно — это было открытие! Но в дальнейшем, когда ученые постепенно примирились с этими «странностями», оказалось, что эти замечательные орудия научного прогресса крайне важны и для техники (в электротехнике, в самолетостроении, например), и тогда комплексное число стало привычным. Догадка — великое дело в науке! Но ведь

— 459 —

догадку надо обосновать, чтобы знать, где она пригодится, а где нет. И когда начинается обоснование догадки, начинается и самое построение этого образа или понятия, тогда это логическое построение понятия в известном смысле можно назвать изобретением, например, математические обозначения. Понятие интеграла, о котором мы уже говорили, было найдено, то есть открыто, примерно в одно и то же время Ньютоном и Лейбницем. Но Лейбниц придумал такие удобные обозначения в этом новом разделе нашей науки, которые сразу всем очень помогли, и вот это было именно изобретением [41] Многое может пояснить книжка М. М. Постникова «Теория Галуа» (*) (М., Физматгиз, 1963), однако она требует внимательного чтения. Кроме того, уже упомянутая книжка У. У. Сойера (последние главы, особенно гл. XIV) многое расскажет нашему читателю о замечательных достоинствах теории Эвариста Галуа. Некоторые историки науки полагают, что эта теория открыла новую эпоху в математике. В маленькой полезной книжке И. Я. Бакельмана «Инверсия» (М., «Наука», 1966, Серия «Популярные лекции по математике», вып. 4) читатель найдет теорему Птолемея (о которой у нас говорится на стр. 445), а также и краткие указания о теореме Галуа (см. стр. 52-54, 65 и далее). О решении кубического уравнения можно узнать из книги Г. М. Шапиро «Высшая алгебра» (М., Учпедгиз, 1938, изд. IV), гл. V, § 2; о симметрических функциях — гл. IV, стр. 123 и 145. Теорема Галуа упоминается в гл. VIII, § 4, стр. 311. Кроме того, мы настоятельно советуем нашему многоуважаемому читателю раздобыть себе прекрасную книгу Г. С. Кокстера «Введение в геометрию» (М., «Наука», 1966), где он найдет целый ряд интереснейших вещей, изложенных мастерски и с большим остроумием. А если кому-нибудь вздумается еще кое-что серьезное узнать о великих подвигах комплексных чисел, то можно посоветовать прочитать статью А. П. Юшкевича об определенном интеграле Коши (см. сборник «Труды института истории естествознания», М., АН СССР, 1947, т. I, стр. 373 и далее). .