Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

y 3+ py + q = 0,

а формулу Кардана напишем в таком сокращенном виде:

то корни нашего уравнения будут таковы:

y 1= A + B ;

y 2= αА + α 2 В ;

y 3= α 2 А + αВ.

— Все-таки, — вымолвил опасливо Илюша, — это получается не так-то просто… С квадратным одна минута, а тут…

— Есть и более сложные задачи, а у сложных задач и способы решения довольно хитрые. Да это еще не все! А дальше способен слушать? А то закроем заседание нашей комиссии — и по домам!

— Нет, нет, — взмолился Илюша, — мне хочется все-таки до конца дослушать!

— «До конца»! — повторил ворчливо Радикс. — Ты дума-

— 448 —

ешь, у этой штуки есть конец? Что касается меня, то я в этом отнюдь не уверен. Так еще немножко проползти можно…

— Поползем! — ответил Илюша, вздохнув потихонечку.

— Воля твоя, — отвечал Радикс, — только потом чтобы не жаловаться, что, дескать, замучили!

— Не буду жаловаться! — храбро заявил Илья.

— Тогда слушай дальше, — продолжал Радикс.

— Слушаю!..

— В конце восемнадцатого века замечательный французский математик Лагранж пытался разобраться во всех способах решения уравнений третьей и четвертой степеней. После того как Эйлер нашел сочетания значений двух кубических корней в формуле Кардана, чтобы получить значения всех трех искомых корней, изучение алгебры комплексных чисел сильно двинулось вперед. Лагранж обратил внимание на то, что любой из двух кубических радикалов в формуле Кардана можно выразить через три корня уравнения при помощи следующей формулы (в зависимости от того, какой корень считается первым, какой — вторым, какой — третьим):

⅓( x 1+ αx 2+ α 2 x 3)

— Совсем я запутался! — с огорчением пробормотал Илья. — Чем эта формула поможет? Откуда взять корни, когда я еще не решил уравнения? Значит, надо сперва воспользоваться формулой Кардана. Какой смысл в этой формуле?..

— Видите ли, — вмешался Мнимий, — вы правы в том отношении, что в деле разыскания корней эта формула помочь не может. Но чтобы представить себе, как связаны корни кубического уравнения с его коэффициентами, она в высшей степени полезна.

— Опять не понимаю! — снова огорчился мальчик. — Ведь мы же знаем, какие для Кардановой формулы делали два раза подстановки! Разве из этого нельзя вывести, какие получаются соотношения между корнями и коэффициентами?

— Того, что мы знаем о наших подстановках, еще мало. Потому что те подстановки, которые годятся для кубического уравнения, не подходят для уравнения четвертой степени, а следовательно, это способ не общий. Кроме того, пока самый способ решения нельзя проверить — или, как говорится, проанализировать, — невозможно подойти и к рассмотрению всего вопроса в целом об алгебраических уравнениях. Ведь мало еще догадаться, каково решение, надо дознаться, почему оно такое, а не иное.

— Возьмем квадратное уравнение, — предложил Радикс, —

— 449 —

хорошо тебе известное. Что ты скажешь, если я предложу тебе для него такую формулу? Ты с ней согласишься?

x = 1/2[( x 1+ x 2) ± ( x 1— x 2)]

— Д-да… — сказал Илюша неуверенно. — То есть если припомнить общую формулу квадратного уравнения

( x 1+ x 2)( x 1— x 2) = 0,

потом открыть в ней скобки

x 2— ( x 1+ x 2) x + x 1 x 2= 0,

а затем применить к такому выражению всем известную формулу, для решения квадратного уравнения, то как раз и придешь к твоей формуле. И действительно, она показывает, как формула решения связана с корнями. Но ведь в квадратном уравнении все так просто!

— Боюсь, — вымолвил Мнимий, — что вас пугают эти самые альфы в формуле Лагранжа. Не так ли? А ведь мы о них недавно говорили… Вспомните-ка!

— Говорили…

— А что именно?

— Что с их помощью получаются все значения корней из комплексного числа…

— Разве? — сказал удивленный Радикс. — Как же это возможно? Мыслимое ли это дело?

Илюша посмотрел на своего друга укоризненно.

Что-то очень маленькое и беленькое вдруг упало у ног Илюши, а потом пошел целый снег из этих маленьких беленьких… Одна штучка упала Илюше прямо на руку, и он увидал, что на ладошке у него лежит крохотная беленькая альфа. А кругом так и сыплются все новые и новые маленькие беленькие альфы…

А Мнимий посмотрел на эту альфообразную метель и признался:

— А ведь в самой своей сущности я тоже альфа!

Илюша взглянул на него и сказал:

— Когда мы разбирали пример Бомбелли, я, кажется, понял, что под корнями в формуле Кардана стоят сопряженные комплексные числа… Ну вот, отсюда и альфы, чтобы получать один за другим все значения корня из комплексного числа! Теперь я как будто разобрался. Значит, Лагранж дал

— 450 —

формулу Кардана не просто в виде результата двух подстановок, а так, как она складывается из самых корней.

И тут альфовый снежок стал стихать.

— Так-с… — произнес наставительно Мнимий. — Это похоже на дело. Но теперь на минутку давайте снова вернемся к квадратному уравнению. Вы этого не бойтесь! Поверьте, что все те крупные ученые, которые это разбирали, тоже не раз вспоминали о квадратном уравнении. Так вот вам еще один вывод для формулы решения квадратного уравнения, причем чрезвычайно полезный. Нам ведь хорошо известно, что по формулам Виеты сумма корней квадратного уравнения ( х 2+ рх + q = 0) равняется коэффициенту при неизвестном в первой степени с обратным знаком, то есть:

х 1+ х 2= — р .

Возьмем еще одно выражение, составленное из тех же корней, только не сумму, а разность, и возведем ее в квадрат:

( x 1— x 2) 2= ( x 1+ x 2) 2— 4 x 1 x 2= p 2— 4 q

Отсюда сразу можно написать, что

x 1+ x 2= — p

x 1— x 2= ± √( p 2— 4 q )

Сложим эти два равенства и сейчас же получим известную формулу решения квадратного уравнения. Не так ли?

— Так, конечно, — отвечал Илюша. — Из суммы этих выражений один корень получаем, а из их разности — другой. Все понятно. Выходит, что мы этим способом получили два уравнения первой степени. Раз нам нужно два решения, то мы можем к ним прийти через два уравнения первой степени… То есть я не знаю, всегда ли так должно получаться, но во всяком случае с квадратным уравнением именно так и получается…