Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

Однако попробуем переписать теперь это по-нашему:

Из этого выражения Бомбелли получил (как мы теперь пишем!) такие равенства:

Если вы возведете каждое из этих равенств в куб, пользуясь формулой сокращенного умножения, вам хорошо известной, вы убедитесь, что равенства эти справедливы. Поскольку искомый икс равняется сумме этих двух выражений, то мы получаем…

Илюша немедленно написал ответ:

х = (2 + i ) + (2 — i ) = 2 + 2 = 4.

— Выходит, — решил он, — что искомый корень представился в виде суммы двух сопряженных комплексных чисел, а эта сумма, как мы уж знаем, есть действительное число! Значит, оно только спряталось за мнимыми числами. Но ведь должны быть и другие корни? Их ведь два еще должно быть как будто? Как их найти? Один корень мы нашли, — рассуждал Илюша, — левая часть уравнения должна состоять из трех

— 438 —

множителей. Но из нашего решения ясно, что один из множителей будет равен

( x — 4);

значит, если я перенесу все члены нашего уравнения влево и разделю затем эту левую часть на этот одночлен, получится квадратное уравнение, а из него можно раздобыть остальные два корня:

( x 3— 15 x— 4) / ( x — 4) = x 3+ 4 x + 1

Илюша еще немного покопался с вычислениями и написал:

x 1= 4,000; x 2= —2 + √3; x 3= —2 — √3

или приближенно:

х 2= —0,268; х 3= —3,732.

— По теореме Виеты выходит. И сумма корней равна нулю! Попробую проверить значения корней. Для этого я буду придавать иксу целочисленные значения от минус шести до плюс шести и посмотрю, где кривая пересечет ось абсцисс.

Илюша так и сделал. Получилась табличка, а за ней и кривая, которую можно разглядеть на чертеже [38] А чертеж сам сделай! Да смотри не ленись! .

— 439 —

— Ишь как хорошо вес выходит! — воскликнул Илюша, закончив табличку. — На четверке нуль…

— Сделаешь верно, и получается хорошо, — заметил Радикс.

— А те два других корня по чертежу тоже очень хорошо подходят. В порядке! И действительно, кривая три раза пересекает ось абсцисс.

— Как ей и положено, — закрепил Радикс. — Рафаэль Бомбелли был человек способный, ученый и даже удачливый: говорят, именно ему удалось разыскать на полках громадной Ватиканской библиотеки рукопись творений грека Диофанта Александрийского, с которых и началась теория чисел, высшая арифметика. Возможно, что Диофант в решении с Кардановой формулой навел Рафаэля Бомбелли на кое-какие полезные мысли.

Тут Радикс продекламировал такой стишок:

— Там, где быть им надлежит, там как раз и пробежит! — поддакнул Мнимий.

Радикс проговорил скороговоркой еще стишок:

И все весело рассмеялись. А Мнимий добавил:

— Надо вам знать еще, что неожиданные и своеобразные разоблачения Бомбелли в те времена скорее привели в недоумение ученых, чем направили их к новым исследованиям. И когда через некоторое время Виета обнаружил, что «неприводимый» случай Кардана можно разрешить тригонометрическим путем (как решение задачи о трисекции угла), то это, наверно, показалось облегчением (впрочем арабские математики нашли это решение примерно еще за целый век до Виеты). Однако трудно сказать, имело ли это какое-нибудь значение, ибо замечательная работа Бомбелли в свое время не была напечатана, хотя была известна и ее изучали крупные ученые. Любопытно, что в те времена были уверены, что

— 440 —

Виета открыл что-то совершенно новое, хотя на самом деле в решении Виеты новыми были только подстановки.

— Но я не знаю, как у Виеты получилось с трисекцией угла и с тригонометрическим решением.

— Неужто? — удивился Радикс. — Так сейчас узнаешь! Виета напал на счастливую мысль привлечь к вопросу о решении кубического уравнения тригонометрические функции. Мы как будто в прошлой схолии рассматривали, что получается, если возвести комплексное число в квадрат. Из этого примера ясно, кстати, что одно равенство комплексных чисел равносильно двум равенствам действительных, ибо действительную и мнимую часть правой части равенства можно рассматривать по отдельности. Согласен?

Илюша задумался.

— Кажется… да!

— Если так, то мы начнем с формулы для косинуса двойного угла. Так или нет? Помнишь?

— Так, как будто. И она будет:

cos 2 α = cos 2 α — sin 2 α .

— Хорошо. Не спорю. А теперь перемножение комплексных чисел (единичных комплексных векторов) из предыдущей схолии повторим еще раз с тем отличием, что наши комплексные множители будут иметь разные аргументы, то есть разные углы. Что мы получим?

Илюша тотчас выполнил это умножение и получил.

cos ( α + β ) = cos α cos β — sin α sin β .

— Ну, а теперь у нас есть все для того, чтобы на основании этих двух формул написать еще формулу для косинуса троекратного угла, то есть для cos (2 α + α ), или в результате cos З α .

На этот раз Илюша не очень долго возился, но все-таки помучился. Радикс напомнил ему, что ведь «без труда и рыбку не вытащишь из пруда», а не то что косинус троекратный!

И наконец получилась вот какая формула:

cos З α = 4 cos 3 α — 3 cos α .

— Вот теперь все, что надо, у нас есть, и мы можем спокойно продолжать наши рассуждения. Попрошу вас только еще заменить cos a на х и написать в обычном для уравнения виде так, чтобы правая часть равнялась нулю, тогда как cos З а будет у нас называться а .