Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

— 441 —

Это задание было совсем уж простое, и Илюша написал.

4 x 3— 3 x — a = 0

— Так ведь это получилось кубическое уравнение и как раз такое, какое мы получали, когда уничтожили член с неизвестным во второй степени.

— Совершенно правильно! — отвечал Мнимий. — Представьте, эта же самая блестящая мысль пришла в голову и славному Франциску Виете! У вас, прямо скажу, был довольно способный предшественник!.. Теперь смотрите внимательно. Ведь из этого уравнения мы по данному углу можем найти угол в три раза меньший, а следовательно, перед нами способ для решения задачи древности — трисекции угла, или деления любого угла на три равные части. Заметьте: любого, ибо некоторые утлы, как, например, прямой угол, делятся на три части очень просто, циркулем и линейкой. Правда, обычно берут не косинус, а синус, но перейти от того к другому не так трудно. А в общем, получается доступный способ для решения кубического уравнения, вернее, одного из его видов. Вот какие разнообразные выводы получаются при рассмотрении решения кубического уравнения. При этом очень важно еще и то, что решение Виеты как раз и есть то самое, которое разъясняет этот трудный случай, когда действительные корни скрываются под личиной мнимых (этот случай, как мы уж говорили, Кардан называл «неприводимым»). И отсюда Виета вывел, что либо кубическое уравнение получается наподобие двух пропорциональных (как при двоекубии!), и тогда у него только один действительный корень, либо они сводятся к трисекции угла, и тогда все три корня действительные. Входить в большие подробности я не буду; скажу только, что этим тригонометрическим способом Виеты можно пользоваться именно тогда, когда под квадратными корнями в формуле Кардана стоят отрицательные числа. В таком случае свободный член уравнения q можно выразить через синус некоторого троекратного угла, а затем, пользуясь тригонометрическими таблицами, без особого труда найти и самые корни. Все это, разумеется, на практике не очень удобно, но тут смысл не в том, чтобы добиться решения кубического уравнения (которое с помощью методов высшего анализа находится скорей и проще), а в том, чтобы рассудить о сути соотношений в алгебраических вопросах.

— Хорошо! — сказал Илюша. — Конечно, все это не очень легко… Но все-таки интересно, когда такую историю с разными алгебраическими чудесами разберешь подробно. Только вот еще что: ведь у древних был уже способ трисекции угла?

— 442 —

Невсис Паппа.

DE = 2AB

FH || АС

АН = НЕ

— Да, — отвечал Радикс, — такой способ был, даже не один. Интересен способ так называемого невсиса, или способ «линейки с двумя метками», с которым мы познакомились уже в Схолии Пятой, способ полезный и чрезвычайно поучительный. Архимед в своих трудах нередко пользуется этим способом. И в древности были такие чудаки, которые его за это поругивали! На линейке можно поставить две метки, а вообще при построениях циркулем и линейкой линейка служила только для того, чтобы провести прямую! И этих меток уже вполне достаточно, чтобы получить возможность решать кубическое уравнение. Вот как решает этим способом Папп Александрит задачу на трисекцию. На нашем чертеже дан угол ABC, который надо разделить на три части. Пусть AC _|_ ВС ; проведем через А прямую АЕ , параллельную ВС , возьмем отрезок, который, как мы уже знаем, будет вдвое больше АВ (для этого-то и нужны отметки на линейке!), так, чтобы его левый конец D лежал на АС , правый, то есть точка Е , на АЕ , а продолжение его проходило бы через точку В .

В таком случае угол CBD будет равен одной трети угла ABC . Это надо доказать.

— Попробую, — отозвался Илюша. — Для начала найдем середину отрезка DE , поставим там точку F и соединим ее с точкой А . Значит, этот треугольник EAD прямоугольный.

— 443 —

Вокруг него можно описать окружность, рассматривая отрезок DE как диаметр. Но если точка F будет его центром, то все три отрезка, то есть FD , AF и EF , равны друг другу, как радиусы этого описанного круга, и каждый равен половине отрезка DE или отрезку АВ . Дальше: треугольник ABF , очевидно, тоже равнобедренный в силу этого последнего равенства, а значит, его углы ABF и AFD равны друг другу. Треугольник AFE , конечно, тоже равнобедренный, это ясно из тех же равенств отрезков. Но угол AFD по отношению к треугольнику AFE есть его внешний угол, и следовательно…

— Ну хватит, пожалуй!— сказал Радикс. — Я вижу, ты понял. Доказательство не такое уж хитрое. Правильно ты начал рассуждать.

— Так и есть! — согласился Мнивши. — Очень похожее решение этой задачи даст примерно тем же методом и Архимед. Ученые полагают, что именно раздумья над этим невсисом Архимеда [39] См. АЛ-Н, XVI, 2; там показаны дна невсиса, Архимеда и Неморария. В книге Н. Ф. Четверухина «Геометрические построения и приближения», М., 1935, есть рассказ о геометрических приближениях трисекции угла при помощи «улитки Паскаля» (это не Блез Паскаль, а его отец, Этьен). и привели Виету к открытию тригонометрического решения кубического уравнения, так что невсис оказал немалые услуги нашей науке. Виета выяснил, что задача трисекции угла, над которой так мучились в древности, тем и трудна, что сводится к кубическому уравнению.

— Хорошо! — сказал с удовольствием Илья, который был в прекрасном настроении, поскольку ему удалось перескочить через длинное доказательство насчет невсиса и трисекции. — Но мне хочется, чтобы вы еще сказали несколько слов насчет этого знаменитого «правила циркуля и линейки».

— Видишь ли, — отвечал Радикс, — один из крупнейших древнегреческих ученых, Аполлоний Пергейский, современник Архимеда, в своем сочинении о конических сечениях говорит о том, что все геометрические построения должны выполняться только с помощью циркуля и линейки. Вообще в Древней Греции этого правила, конечно, не придерживались, но ему придавали очень большое значение в эпоху возрождения наук в Европе. Этот интерес несколько ослаб, когда Виете удалось впервые обнаружить, что именно это требование означает алгебраически: в таком случае нельзя пойти дальше построения корня квадратного, то есть решения квадратного уравнения либо такой задачи, которая сводится к последовательному извлечению ряда квадратных корней. Среди средневековых работ есть одна замечательная трисекция угла, выполненная очень простыми средствами Гиясэддином ал-Каши, талантли-