Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

— Я — Число членов прогрессии. Понятно?

Илюша кивнул ему. Тогда карлики снова выстроились в ряд, а за ними появился совершенно такой же ряд, но только расположенный в обратном порядке. Карлики обоих рядов приблизились друг к другу и a n , опять стали парами: a 1с a n , a 2с a n -1и так далее. Но только теперь это произошло очень быстро, потому что им не пришлось перебегать от начала ряда

— 190 —

к его концу, так как второй ряд уже был расположен в обратном порядке.

Снова буквы сменились у всех на кафтанчиках цифрами, а рядом со счетоводом появились два маленьких человечка, совершенно таких же, как первый и последний члены ряда. Счетовод Числочленов вытащил откуда-то знак равенства, весьма важно оправил свой долгополый костюм, на котором появилась цифра «10», взял под руку двух маленьких человечков и стал рядом с ними по левую сторону знака равенства. Справа же стояли парами два ряда карликов. Счетовод взмахнул рукой, и один из рядов исчез, но одновременно крайние карлики взяли в руки скобки и рядом появился человечек с надписью «2». Получилось равенство:

10 ·(1 + 19) =2 ·(1+3 + 5 + 7 + 9+ 11 + 13+ 15+ 17+ 19)

Илюша посмотрел и сообразил: из каждой пары членов получается 20, членов всех десять — выйдет 200. Это с правой стороны. А с левой счетовод Числочленов равен десяти, а сумма пары 1 и 19 (которая равна сумме любой пары, если пары подбираются, как было сказано выше) дает 20. Десять умножим на двадцать — опять получим 200. Все правильно!

Затем счетовод Числочленов вытащил из своего долгополого сюртучка предлинную черту, посмотрел на нее, расправил, потом положил на пол, и все трое из левой части равенства стали на нее. Засим он поманил пальцем человечка-двойку, который подлез под длинную черту и, оказавшись замечательным силачом, приподнял всю левую часть над собой. Толстая женщина подошла к ним, а карлики отошли в сторону. Илюша хотел было спросить у этой толстухи, кто она такая, но она проскрипела:

— Я — Сумма. А ты и не признал!

И на ее платье показалась цифра «100».

Илюша сильно покраснел, но ничего не сказал. Перед ним стояло равенство:

[10 ·(1 + 19)] / 2 = 100.

— 191 —

Все было правильно. Затем цифры быстро сменились буквами, и получилась формула:

S = [ n ( a 1+ a n ) ] / 2

Илюша внимательно посмотрел на нее и уверенно произнес:

— Сумма членов арифметической прогрессии равняется половине произведения числа членов на сумму первого и последнего членов.

Счетовод Числочленов немедленно с большой поспешностью соскочил вниз и стал засовывать свою черту в карман, страшно гремя костяшками счетов, которые он боялся выпустить из рук. Карлики крикнули все хором:

— Мы все друзья и слуги ВОЛШЕБНОГО ДВУРОГА!

И тотчас же все исчезло, будто вовсе не бывало.

— Ясно? — спросил его с улыбкой Радикс.

— Ясно, — ответил Илюша.

Но в это время снова раздались многочисленные шаги, и появилась новая толпа маленьких пузатеньких человечков, однако эти вели себя гораздо более важно и церемонно, чем первые. Изумительное равнодушие и важность были написаны на их толстеньких сморщенных личиках. Из толпы отделился тощий, длинный человечек в высоком цилиндре, за ленту которого была засунута буква q . Он подошел к Илюше, кивнул и показал двумя длинными пальцами на букву q на своем цилиндре. «Наверно, это знаменатель прогрессии!» — подумал Илюша, решив, что это к ним явилась геометрическая прогрессия в полном составе. Человечек с буквой q посмотрел на него и немедленно кивнул, точно он услыхал, что подумал Илюша. Человечки неторопливо стали в ряд. На их жилетках появились сперва буквы, точь-в-точь такие же, какие были у карликов; a 1, a 2, a 3и так далее до a n. А затем буквы исчезли и появились цифры: 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192.

Долговязый человечек Знаменатель вытащил из-за ленты своего цилиндра букву q , что-то к ней приладил и опять вставил за ленту, где теперь появилось:

q = 2.

«Знаменатель равен двум!» — подумал Илюша.

Потом человечек достал из своих необъятных карманов две скобки, поставил их с обеих сторон прогрессии, а между человечками поставил по плюсу. Затем подошел к первому члену

— 192 —

прогрессии, без труда приподнял его и понес за скобки. Но маленький человечек сопротивлялся и вырывался из рук. По-видимому, что-то было не по правилам. Человечки в скобках тоже волновались.

Тогда Знаменатель пожал плечами и отпустил человечка с надписью «3», и тот побежал вдоль ряда. На его месте появился другой — худой, с надписью «1», и каждый из членов прогрессии, мимо которого он пробегал, моментально сменялся другим, так что, когда человечек, запыхавшись, закончил свои бег и стал рядом, вне скобок, получилось:

3 ·(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64).

«Ага! — подумал Илюша. — Значит, он их все сложил, а первый член вынес за скобку».

Человечек Знаменатель утвердительно кивнул Илюше.

Мальчик подумал, что этот безмолвный учитель, который обладает столь тонким слухом, что слышит даже и то, чего ты не произносил, — довольно интересная новость!

Тут же цифры на жилетках человечков заменились буквами:

a 1(1 + q 1+ q 2+ q 3+ q 4+ q 5+ q 6+ … + q n -2+ q n -1).

«Правильно! — решил про себя Илюша. — Просто он заменил цифры алгебраическими обозначениями. Тут в конце стоят q n -2и q n -1— в том смысле, что прогрессию по тому же правилу можно тянуть вправо до любого члена. А почему членов у нас n , а старший показатель q не n , а ( n -1)? Ах да! Ведь впереди есть еще единица, то есть q 0. Значит, один и еще ( n -1) — вот и выйдет опять ровно n . Ясно! Значит, в сумме всякой геометрической прогрессии Можно взять первый член за скобку, а в скобках останутся степени знаменателя».

Человечек Знаменатель глянул мельком на Илюшу и, заметив, что тот все понял, даже не счел нужным кивнуть ему.

Затем он поднял свой длиннейший указательный палец правой руки вверх, покачал им торжественно, как бы приглашая Илюшу отнестись повнимательнее к тому, что он сейчас ему покажет. После этого он взял три первых члена из скобок, поставил их перед Илюшей и снова заключил в скобки.