Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

(1 + q + q 2)

Затем Знаменатель показал Илюше на эту тройку знаков и выразил на своем лице некое недоумение, как бы приглашая

— 193 —

Илюшу объяснить: что он перед ним поставил? Илюша посмотрел на него, потом на троих человечков и ничего не мог придумать. Знаменатель недовольно нахмурился, сделал знак человечкам, и тогда первый и третий поменялись местами. Знаменатель снова сделал недоуменную мину и опять показал Илюше на тройку приятелей. Илюша посмотрел. Перед ним стояло:

( q 2+ q + 1)

Это было то же самое, только два члена выражения поменялись местами.

«Э! — подумал Илюша. — Да это просто неполный квадрат суммы!»

Не успел он это подумать, как вдруг откуда-то раздалось ядовитое хихиканье, и слишком хорошо ему известный голосок вездесущего Уникурсала Уникурсалыча произнес очень отчетливо:

— Ах, какой догадливый мальчик! А до того, как переставили, это, значит, не было неполным квадратом суммы? Вон как!

Илюша густо покраснел, хотел было что-то ответить, но не мог придумать ничего дельного, а человечек Знаменатель радостно закивал ему в знак согласия, немедленно вычел из самого себя единицу, залез в скобки, и перед Илюшей появилось:

( q 2+ q + 1) ( q — 1) = ?

«Неполный квадрат суммы, — подумал Илюша, — если его умножить на разность первых степеней, будет равен разности кубов. Все ясно. Но к чему это он ведет?»

Человечек Знаменатель хитро подмигнул Илюше, как бы говоря: «Сейчас узнаешь!» — и перед мальчиком появилось:

( q 2+ q + 1) ( q — 1) = q 3— 1.

«Ну конечно!» — подумал Илюша. Затем скобки немного раздвинулись, в них забрался еще человечек. Теперь получилось:

( q 3+ q 2+ q + 1) ( q — 1) = q 4— 1.

«Ишь ты! — подумал Илюша. — Как же так выходит?» Но когда он попробовал в уме перемножить скобки левой части, то убедился, что как раз так и получается. «Действительно, — подумал он, — когда я умножу q 3на q , то выйдет q 4; когда умножу 1 на (— 1), то получится —1, а все остальное взаимно уничтожается, потому что от умножения на q всех членов,

— 194 —

кроме первого, я получу q 3, q 2, q и все будут с плюсом, от умножения на (—1) всех членов, кроме последнего, я получу те же q 3, q 2, q , но все будут с минусами. Значит, только и останется q 4и — 1. Все верно!»

Тогда в скобки влез еще один человечек, и вышло:

( q 4+ q 3+ q 2+ q + 1) ( q — 1) = q 5— 1.

Тут Илюша, рассуждая совершенно таким же образом, пришел снова к заключению, что и это тоже правильно.

А затем человечки стали так:

( q n -1+ q n -2+ … + q 4+ q 3+ q 2+ q + 1) ( q — 1) = q n — 1.

«Так, — подумал Илюша. — Тут начинается с q n -1. To-есть он хочет сказать, что это правило годится для любой степени».

Подумав немного, Илюша убедился, что Знаменатель совершенно прав.

Вслед за этим его новый приятель быстро схватил скобочку ( q — 1) и перенес в знаменатель правой части. Получилось:

q n -1+ q n -2+ … + q 4+ q 3+ q 2+ q + 1 = ( q n — 1) / ( q — 1).

Затем человечки быстро поменялись местами, и вышло:

1+ q + q 2+ q 3+ q 4+…+ q n -2+ q n- 1= ( q n — 1) / ( q — 1).

Теперь человечек Знаменатель изобразил на своем личике самую приятную улыбку и снова показал получившуюся формулу Илюше, как бы приглашая его полюбоваться тем, что получилось.

Илюша внимательно посмотрел на формулу и подумал:

«Значит, налево стоит сумма геометрической прогрессии, у которой первый член равен единице. И теперь он получил выражение для этой суммы».

Знаменатель улыбнулся и привел двух человечков, у которых на жилетках стояла цифра «3». Затем между ними возник знак равенства, а у левого человечка тройка заменилась буквой, и вышло:

a 1= 3.

«Так! — подумал Илюша. — Ну, я уж это знаю: первый член равен тройке».

— 195 —

Тогда у обоих человечков на жилетках появились одинаковые буквы. Человечек Знаменатель поставил одного к левой части своего равенства, а другого — к правой, и вышло:

a 1(1 + q + q 2+ q 3+ q 4+…+ q n -2+ q n -1) = a 1( q n — 1) / ( q — 1).

«Обе части он умножил на первый член прогрессии, — подумал Илюша. — Это можно, конечно. Ну, и что ж у нас теперь вышло? Эх! Да это теперь как раз и получилась сумма всей прогрессии!»

В это время появилась какая-то длинная пожилая дама, которая взглянула на Илюшу с возмущением и пожала в ужасе плечами. По-видимому, это была очень нервная особа, потому что человечек Знаменатель обращался с ней до крайности предупредительно. Он подвел ее к своему равенству.

Рыжая дама горестно вздохнула, и на груди ее смутно вырисовалась буква S . «Сумма!» — подумал Илюша, а человечек Знаменатель сочувственно кивнул ему, как бы говоря:

«Пренеприятная особа! Ну, да ведь ничего не поделаешь!»

И получилось следующее равенство:

S = a 1(1+ q + q 2+ q 3+ q 4+…+ q n -2+ q n -1) = a 1( q n — 1) / ( q — 1),

с чем Илюша не мог не согласиться, а затем вся серединка формулы исчезла, и появилось окончательное выражение суммы:

S = a 1( q n — 1) / ( q — 1)

— 196 —

Илюша громко и отчетливо произнес:

— Для того чтобы найти сумму геометрической прогрессии, нужно первый член прогрессии умножить на дробь, числитель которой равен разности между знаменателем прогрессии в степени, равной числу членов, и единицей, а знаменателем этой дроби является разность между знаменателем прогрессии и единицей.

Затем человечек Знаменатель разорвал свою дробь надвое:

S = a 1[ q n / ( q — 1) — 1 / ( q — 1)]