Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

— Вот тебе и раз! — сказал Илюша. — Не подобны, нет… И, честное слово, я не понимаю, как это выходит!

— Дело вот в чем, — серьезным тоном проговорил Коникос. — Мы уже тебе говорили, что сумма углов в не-евклидовых треугольниках не есть величина постоянная, в противоположность евклидовым треугольникам, где сумма углов всегда постоянна и равна, как тебе известно, ста восьмидесяти градусам. Мало этого, в не-евклидовых треугольниках сумма углов связана с их площадью. Причем если ты имеешь дело со сферическими треугольниками, то там чем больше площадь треугольника, тем больше и сумма его углов, и ты сам видел треугольник, сумма углов которого доходила до трех прямых углов. В треугольнике Лобачевского дело обстоит в некотором отношении так же, а в некотором — как раз наоборот. Там тоже сумма углов треугольника связана с площадью, но в обратном отношении, то есть чем больше сумма углов треугольника, тем меньше его площадь, и обратно, пока сумма углов не дойдет до своего естественного предела, то есть станет равной нулю для треугольников, все вершины которых лежат на экваторе сферы. Но уж это в геометрии Лобачевского, собственно, не треугольники, а фигуры, образованные тремя попарно параллельными прямыми. В силу именно этих обстоятельств ты и видишь сейчас, что каждый из взаимно равных углов равностороннего малого не-евклидова треугольника больше любого угла такого же большого треугольника, и так должно быть! А отсюда следует вывод чрезвычайно в данном случае значительный: никаких подобных фигур в не-евклидовых геометриях не существует, и там невозможно построить фигуру, подобную данной, но имеющую иные размеры. Если нам с тобой повстречаются два треугольника с соответственно равными углами, то нетрудно будет убедиться, что эти треугольники равны. Любопытно еще и то, что площадь такого треугольника ограничена и не может превысить некоторой определенной величины, как бы мы ни увеличивали его стороны, ибо площадь эта прямо пропорциональна разности

— 287 —

[180°— ( α + β + γ )], где α , β и γ суть углы треугольника. А наше выражение в квадратных скобках, очевидно, не может быть больше ста восьмидесяти градусов. Однако и этого еще мало, и этим не исчерпываются необычайные чудеса этой геометрии. В ней мы имеем возможность определить отрезок через угол. Ибо коль скоро треугольник вполне определяется своими тремя углами, то я могу точно определить отрезок, указав, что он является стороной равностороннего треугольника с заданным углом (меньшим, разумеется, нежели две трети прямого угла). Отсюда можно сделать один удивительный вывод. Тогда как в обычном мире необходим эталон (то есть образчик) меры длины — метр, ярд, сажень, — в мире «воображаемой» геометрии в таковом эталоне нет надобности. Там с помощью геометрического построения, как бы исходя из свойств самого пространства, мы строим единицу длины наподобие того, как в евклидовой геометрии строится прямой угол (то, что мы потом его делим на девяносто градусов, к его величине касательства не имеет.)

— Сумма углов равностороннего треугольника Лобачевского, — промолвил Асимптотос, — поистине меньше двух прямых, ибо каждый из них меньше чем шестьдесят градусов. Мы можем тебе показать это.

Снова перед Илюшей выросла полусфера высотой в один метр. Линии, которые провели по стеклу круглые пули Коникоса, были прекрасно видны. Асимптотос подошел к полусфере и лёгонько толкнул ее пальцем. Полусфера закачалась, перевернулась своим срезом (основанием) вверх.

Асимптотос взял ниточку и, нагнувшись над опрокинутой полюсом вниз полусферой, закрепил один конец нитки в одной из трех точек внутри полусферы, где пересекались два следа пуль. Илюша внимательно следил за всеми этими приготовлениями. Затем Асимптотос, туго натянув нитку, повел ее к другой точке пересечения следов не-евклидовой пальбы и закрепил во второй точке, а затем и в третьей точке. Наконец он потянул ниточку из третьей точки снова в первую и закрепил ее там, где она вся и кончилась. Таким образом, внутри полусферы в воздухе повис туго натянутый ниточный равносторонний треугольник. Он висел, разумеется, так, что плоскость его была параллельна полу.

— Теперь это будет тот самый треугольник, который Коникос чертил на полу и о котором ты еще высказал такое авторитетное мнение… насчет суммы его углов, помнишь?

Илюша очень хорошо помнил свое «авторитетное мнение», только ему совсем не хотелось, чтобы и другие об этом вспоминали…

Асимптотос похлопал рукой по краю полусферы, и она тут

— 288 —

же превратилась в целую сферу, то есть на лежащей ее половине тотчас же выросла и вторая (верхняя) половина шара. Теперь у этой сферы было два полюса — южный (старый) и северный (новый, верхний). Коникос принес откуда-то маленькую ярко светящуюся точку и положил ее на северный полюс сферы. В светлице стало темно, и лучи ярко светящейся точки северного полюса бросали резкие тени. На полу под сферой эти лучи сейчас же отчетливо нарисовали тень экватора, которая, конечно, оказалась правильным кругом. А внутри этого круга, разумеется, нарисовалась, отступя на некоторое расстояние от окружности, и тень ниточного треугольника.

— Смотри хорошенько! — произнес Коникос. — Видишь, как легли на полу тени тех следов, которые нацарапали на стекле полусферы пульки.

Это, конечно, и было самое интересное в этом волшебном опыте! Илюша заметил без особого труда, что следы пуль Коникоса рисуются на полу, как дуги кругов, перпендикулярных к тени экватора. Они и образовывали на полу своеобразный треугольник с вогнутыми внутрь сторонами. А треугольник этот был как бы «вписан» в самый обыкновенный евклидов равносторонний треугольник, который был тенью ниточного треугольника.

— Ну-с? — произнес Радикс.

И в тот же миг стало опять совершенно светло, а сфера и сияющая полярная точка исчезли. На полу остался лежать очень четкий чертеж круга и двух треугольников внутри его. Теперь уж не было никаких сомнений в том, что эти не-евклидовы углы много меньше евклидовых. Сумма углов равнялась 110°.

— Хорошо! — сказал Илюша. — На этом-то чертеже совершенно ясно, что углы не-евклидова треугольника гораздо меньше. Но разве тени следов пуль образуют те же углы, как и самые следы?

— Видишь ли, — терпеливо отвечал ему Радикс, — вообще, разумеется, не те же. Однако, если по отношению к лучу света плоскость угла отклонить в одну сторону, а плоскость, на кото-

— 289 —

рую ложится тень, — в другую, так, чтобы обе эти плоскости образовали с лучом светящейся точки равные углы, то тени дадут тот же самый угол, который и был у тебя. Попробуй-ка начерти сечение нашей сферы по меридиану и выясни, какие получатся углы. Ты без особого труда, я полагаю, убедишься, что в нашем случае углы будут в точности одинаковые… Следует еще помнить о том, что, имея дело с геометрией сферы, необходимо принимать во внимание ее размеры: именно это и определяет ее кривизну, как и для псевдосферы, то есть и для «воображаемой» геометрии. Сам Лобачевский полагал, что только физико-астрономические опыты могут дать нам материал для суждения о том, какая именно геометрия свойственна нашему пространству, в котором мы существуем. Поэтому тот, кто скажет, что великий русский геометр подходил к геометрии «как естествоиспытатель», будет очень близок к истине. Современные ученые полагают, что Лобачевский был прав в своих догадках: действительно, в некотором смысле геометрия нашего мирового пространства — это не-евклидова геометрия, хотя она и не совсем такая, как геометрия Лобачевского. А теперь, чтобы ты мог себе уяснить с помощью некоторой особой аналогии этот взгляд на геометрию, а вместе с тем познакомился и с другим примером осуществления геометрии Лобачевского, вспомним прежде всего, что геометрии на малых участках будут очень мало отличаться друг от друга, на чем бы они ни были — на плоскости, сфере или псевдосфере.