Моррис Коэн - Введение в логику и научный метод

Так как же в таком случае Архимеду удалось доказать данное суждение? К счастью, доказательство, которое он посчитал адекватным, присутствует в сохранившихся отрывках его трактата «О плавающих телах». На протяжении веков данное доказательство служило моделью того, каким должно быть доказательство. Также оно смогло вдохновить таких людей, как Кеплер и Галилей. Доказательство состоит из проявления необходимых отношений между природой, или определением, жидкостей и природой поведения твердых тел, погруженных в жидкости. Рассмотрим его более детально, чтобы открыть для себя важнейшие свойства дедуктивного рассуждения.

Архимед начинает свой трактат с постулата, или допущения, с помощью которого определяется природа жидкостей. Затем он доказывает шесть суждений посредством данного постулата и геометрических теорем, которые были ранее доказаны в соответствующих трактатах по данному предмету. Однако для того чтобы доказать седьмое суждение, нужен только исходный постулат и два предшествующих суждения. Мы просто их приведем, а затем повторим доказательство седьмой теоремы. (Здесь мы не будем использовать кавычки и в некоторых местах внесем нужные сокращения.)

Сам постулат выглядит так: допустим, что жидкость имеет такую природу, что во всех одинаковых и непрерывных положениях ее частей то количество (portion), которое претерпевает наименьшее давление, вытесняется тем количеством, которое претерпевает наибольшее давление. И каждая часть жидкости испытывает давление того количества жидкости, которое находится перпендикулярно над ней, если последнее погружается вниз или испытывает давление от другого количества.

Суждение 3. Твердые тела, которые обладают такой же плотностью, что и жидкость, будучи погруженными в нее, не будут плавать на поверхности, но и не потонут.

Суждение 6. Если твердое тело, более легкое, чем жидкость, погрузить в воду, то оно будет вытолкнуто вверх силой, равной разнице между весом тела и весом вытесненной жидкости.

Суждение 7 и его доказательство таковы: твердое тело, более плотное, чем жидкость, при погружении в эту жидкость опустится на дно жидкости; будучи взвешенным в жидкости, твердое тело будет легче своего истинного веса ровно на столько, сколько весила вытесненная им жидкость.

Доказательство. 1. Первая часть суждения очевидна, поскольку часть жидкости, находящаяся непосредственно под твердым телом, будет испытывать большее давление, чем части жидкости, находящиеся под этой частью; и, следовательно, эти другие части будут поддаваться до тех пор, пока твердое тело не достигнет дна.

2. Пусть А будет твердым телом, более тяжелым, чем такой же объем жидкости, и пусть (G + Н) представляют его вес так, что G представляет вес такого же объема жидкости.

Возьмем твердое тело В, более легкое, чем такой же объем жидкости, и такое, что вес В равен G, тогда как вес такого же объема жидкости равен (G + Н). (Иными словами, В следует выбрать таким образом, чтобы его объем равнялся такому объему жидкости, который будет равен по весу телу А.)

Пусть далее А и В будут совмещены в единое твердое тело и погружены в жидкость. Тогда поскольку (А + В) будет иметь такой же вес, как и такой же объем жидкости, а оба веса будут равны (G + Н) + G, то из этого следует, что (А + В) в жидкости останется неподвижным.

Следовательно, сила, которая заставляет А тонуть, должна быть равной силе, выталкивающей В вверх. Эта последняя равна разнице между (G + Н) и G. Поэтому А вдавливается силой, равной Н, т. е. его вес в жидкости равен Н или разнице между (G + Н) и G.

Читателю следует изучить данное доказательство тщательно и неоднократно. После этого он может задуматься над следующими вопросами:

1. В каком смысле данное «доказательство» доказывает суждение, если допустить, что оно является окончательным?

2. Является ли доказательство окончательным?

3. От каких факторов или аспектов предметной области зависит окончательный характер доказательства?

Данные вопросы должны быть рассмотрены непосредственным образом, если мы хотим избежать путаницы в отношении философии доказательства.

1. Если доказательство является обоснованным, то тогда для всех возможных твердых тел и для всех жидкостей, выполняющих условия, сформулированные в постулате, отношения, описанные в суждении, должны иметь место. В отношении суждений невозможны никакие исключения, и при этом не требуется никакого эмпирического исследования жидкостей для того, чтобы мы могли быть в этом уверены. Данное суждение можно утверждать без опасения столкнуться с противоречием в каком-либо будущем эксперименте, если допускается постулат. Однако это квалификационное «если» является крайне важным. Оно напоминает о том, что мы не доказали материальную истинность данного суждения. Мы не показали, что в любом действительном объеме воды более плотное твердое тело будет тонуть; это будет так, только если вода на самом деле является жидкостью, относительно которой выполняется указанный постулат. Таким образом, мы показали, что если вода является жидкостью, природа которой частично выражена данным постулатом, то дальнейшие отношения, сформулированные в суждении, с необходимостью будут ей присущи. Однако данное доказательство не показывает и не претендует на то, чтобы показывать, что вода на самом деле является жидкостью.

Быть может, Архимед полагал, что применимость данного постулата для всех жидкостей очевидна. Если так, то он, без сомнения, ошибался. Как мы уже отмечали, и как у нас еще не раз будет возможность убедиться, кажущаяся самоочевидность суждения не представляет окончательного основания его истинности. Однако независимо от того, считал он так или нет, истинность или ложность постулата в самом доказательстве не играет никакой роли. Повторим, что приведенное выше доказательство не доказывает материальной истинности суждения. Вопрос о том, какой тип оснований требуется для материальной истинности суждения, рассмотрен в главах VIII, XI, XIII и XIV. Здесь же нам нужно лишь подчеркнуть, что единственное, что окончательное доказательство может доказывать, это лишь существование необходимой связи между определяющими свойствами жидкостей и твердых тел и прочими их свойствами. Доказательство проявляет отношения импликации между суждениями, и ничего более. В доказательстве не дается ответа на вопрос о том, обладает ли какая-либо реальная жидкость свойствами, сформулированными в постулате.

Читатель может также отметить, что объем жидкости и размер погруженного в нее твердого тела не играет никакой роли в доказательстве, поскольку данное суждение следует из допущения относительно жидкостей как таковых, а не из допущений относительно жидкостей и твердых тел определенного объема. Таким образом, суждение может быть доказано, если посылки его имплицируют или, иными словами, если данное суждение является необходимым следствием посылок.