Моррис Коэн - Введение в логику и научный метод

10. Какого рода вопросы может задавать и разрешать логика относительно суждений?

11. Докажите с помощью математической индукции:

12. Прочитайте главы 6 и 7 «Введения в математику» Уайтхеда. Обсудите способы, которыми отличаются друг от друга целые, рациональные, действительные и мнимые числа.

Для дальнейшего изучения:

Younq J. W. Fundamental Concepts of Algebra and Geometry.

Chaps. II, III, IV, V.

Carmichael R. D. The Logic of Discovery. Chaps. II, III, IV, V, VI. Whitehead A. N. Introduction to Mathematics.

Jourdain R E. B. The Nature of Mathematics.

Russel B. Mysticism and Logic. Chaps. IV, V.

1. Какова вероятность того, что монета упадет вверх решкой три раза подряд, если вероятность выпадения монеты какой-либо из двух сторон одинакова?

2. Какова вероятность выпадения орла три раза при пяти бросках монеты?

3. В кошельке находится 2 монеты по двадцать пять центов каждая, 3 – по десять, 6 – по пять центов. Наугад извлекаются две монеты. Какова вероятность того, что этими монетами будут:

a. Две монеты по двадцать пять центов?

b. Одна по десять и одна по пять?

4. Вероятность того, что А умрет в течение десяти лет, равна 9/100; того, что В, – 7/100; того, что С, – 11/100.

a. Какова вероятность того, что А проживет еще 10 лет?

b. Какова вероятность того, что А и В вместе проживут еще 10 лет?

c. Какова вероятность того, что по меньшей мере один из троих проживет еще 10 лет?

5. Если 7 человек сядут за круглый стол в случайном порядке, какова вероятность того, что 2 определенных человека будут сидеть рядом? Какова вероятность того, что рядом будут сидеть три заранее определенных человека?

6. Вероятность выпадения орла при броске монеты равняется 1/2, шестерки при броске кости – 1/6, а извлечения белого шара из урны – 3/5. При условии, что данные события независимы, какова вероятность того, что:

a. Произойдет одно, и только одно, из этих событий?

b. Произойдет два из этих событий, и не более?

c. Произойдет по меньшей мере 1 событие?

d. Произойдет по меньшей мере 2 события?

e. Произойдет не более 1 события?

f. Произойдет не более 2 событий?

7. В одной из двух на вид схожих коробок содержится 4 ручки и 2 карандаша. В другой находится 5 ручек и 3 карандаша. Наугад берется одна из коробок, и один предмет содержимого извлекается. Какова вероятность того, что это будет ручка? Если содержимое двух коробок находилось бы в одном мешке, какова вероятность того, что извлеченный наугад предмет оказался бы ручкой?

8. Проанализируйте следующий аргумент:

«Известный нам мир содержит ограниченное количество добра, которого, несмотря на ограниченность, гораздо больше, чем требуется в чисто механистической системе.

Если бы Вселенная целиком состояла бы из громадного количества элементарных сущностей, частиц материи, электричества, импульсов энергии излучения, которые бы сохранялись, но при этом бы отталкивали и притягивали друг друга в приблизительном согласии физических законов, то нам следовало бы ожидать, что на определенном этапе они бы склеивались в объединенные структуры, которые, в свою очередь, хоть и не так часто, но все же могли бы сочетаться и формировать еще более сложные структуры и т. д. Однако вероятность того, чтобы такие более сложные совокупности сочетались только случайным образом, сама по себе была бы бесконечно мала. Более того, также существовала бы устойчивая тенденция распада и рассеивания подобных структур сразу после их формирования вместе с потерей материи и энергии, концентрировавшейся в них.

Серьезный атеист должен относиться к вопросу о мире также с должной серьезностью и задаться следующим вопросом: какова вероятность того, что подобное развитие, в мире распада, стало следствием случайности? Разумеется, под словом «случайность» мы здесь не имеем в виду отсутствие какой-либо причинно-следственной связи, а лишь отсутствие любой причинно-следственной связи, кроме той, что признается в физике. Таким образом, случайностью будет считаться, если стопка карточек, на каждой из которых будет по одной букве, будет брошена в воздух и, упав, сложится в осмысленное предложение, например: «Видеть кошку». Движение каждой карточки будет механически обусловлено, однако настоящей случайностью будет то, что они выпадут именно так…Пусть атеист в споре с нами сделает ставку и назовет степень вероятности, требующуюся для того, что определенное число частиц, волн или каких бы то ни было других составных элементов Вселенной организовались только согласно признаваемым физикой законам механической причинности, так чтобы в результате получился даже не тот космос, который мы реально имеем, а любой другой с равным количеством значимых структур или процессов. Разумеется, он не сможет спорить с нами на равных и, боюсь, наше преимущество в ставках будет столь значимым, что он даже будет выглядеть глуповатым, делая ставку на отстаиваемую им теорию.

Однако какова альтернатива этой позиции? Она не является такой уж страшной, а представляет всего лишь гипотезу о том, что тот вид причинности, который так хорошо нам известен, вид, который мы обнаруживаем в той части материи, которую можем воспринимать непосредственно, а также изнутри, вид, который, коротко говоря, управляет нашей жизнью и сознанием, является не просто случайностью, а существенной составляющей мира, породившего нас» [136] .

9. Исследуйте данные аргументы и определите их вероятностный характер:

Наш посетитель – самый заурядный мелкий лавочник, самодовольный, тупой и медлительный. Брюки у него были мешковатые, серые, в клетку. Его не слишком опрятный черный сюртук был расстегнут, а на темном жилете красовалась массивная цепь накладного золота, на которой в качестве брелока болтался просверленный насквозь четырехугольный кусочек какого-то металла. Его поношенный цилиндр и выцветшее бурое пальто со сморщенным бархатным воротником были брошены тут же на стуле. Одним словом, сколько я ни разглядывал этого человека, я не видел в нем ничего примечательного, кроме пламенно-рыжих волос. Было ясно, что он крайне озадачен каким-то неприятным событием.

От проницательного взора Шерлока Холмса не ускользнуло мое занятие.

– Конечно, для всякого ясно, – сказал он с улыбкой, – что наш гость одно время занимался физическим трудом, что он нюхает табак, что он франкмасон, что он был в Китае и что за последние месяцы ему приходилось много писать. Кроме этих очевидных фактов, я не мог отгадать ничего.

Мистер Джабез Уилсон вскочил с кресла и, не отрывая указательного пальца от газеты, уставился на моего приятеля.

– Каким образом, мистер Холмс, могли вы все это узнать? – спросил он. – Откуда вы знаете, например, что я занимался физическим трудом? Да, действительно, я начал свою карьеру корабельным плотником.