Игорь Беляев - Древнеарийская философия том 1 и том 2

Сформированных таким образом множеств может быть несколько. Важно, что существует хотя бы одно из них.

И такое на первый взгляд невинное утверждение вызвало множество споров среди математиков. Причиной их было то, что, как видно из приведённой цитаты, гарантируя возможность выбора, «аксиома выбора не требует, чтобы выбранные элементы обладали каким-нибудь определённым свойством» 2.

И потому «аксиома выбора не вполне самоочевидна, так как в ней говорится о выборе из бесконечно многих множеств, но она научно необходима, поскольку используется для доказательства важных теорем» 3. Правда, «положение аксиомы выбора стало за последние годы менее спорным» 4, и «большинству математиков она представляется утверждением совершенно правдоподобным» 5.

Дело в том, что «аксиома выбора имеет столь многочисленные и важные приложения практически во всех областях математики, что отказ от неё выглядел бы как преднамеренная подножка работающему математику» 6Но, несмотря на это, её изучение доставило беспокойство и головную боль всем великим математикам XX-ого в., не говоря уже о тех, кто был калибром поменьше.

Короче говоря, «аксиома выбора породила больше дискуссий и споров, чем любая другая аксиома, за исключением, может быть, аксиомы Евклида о параллельных» 7, или пятого постулата Евклида. И, всё же, несмотря на все её странности, под давлением потребностей в обосновании самых распространённых методик было заключено, что «на сегодняшний день аксиома выбора признаётся, в принципе, безвредной и необходимой в математической практике» 8.

Разумеется, всё сказанное свидетельствует о том, что аксиома выбора представляет собой краеугольный камень современной математики. Но, признавая за нею такую роль, математики всегда помнят, что «принятие аксиомы выбора позволяет доказывать теоремы, мягко говоря, противоречащие интуиции» 9.

Формулировка аксиомы выбора. В настоящий момент аксиома выбора представляется в нескольких эквивалентных формах, отражающих различные её нюансы. Наиболее часто используются следующие её формулировки 10.

«…Следующие формулы эквивалентны:

1. Аксиома выбора: Для любого множества существует такая выбирающая функция, что для всякого его непустого подмножества она отображает данное подмножество на его часть, то есть, в это же самое подмножество;

2. Мультипликационная аксиома: Для любого множества непустых и попарно непересекающихся множеств существует множество, содержащее в точности по одному элементу из каждого множества, входящих в их описываемое объединение;

3. Принцип вполне упорядочивания: Всякое множество может быть вполне упорядочено;

4. Трихотомия: Каждые два элемента множества сравнимы между собой;

5. Лемма Цорна: Если в частично упорядоченном множестве всякая цепь, то есть, полностью упорядоченное подмножество, имеет верхнюю грань, то в таком множестве существует максимальный элемент»

Начальные из двух приведённых формулировок аксиомы выбора являются самыми «древними». По мнению автора, они отражают сущность аксиомы выбора наиболее выпукло, хотя и являются, с логической точки зрения, наиболее сложными вариантами её определения.

Первая формулировка аксиомы выбора основывается на использовании некоторой функции. Условимся называть такую функцию «выбирающей функцией аксиомы выбора» или просто «выбирающей функцией» .

Действие выбирающей функции происходит как отображение данного множества в себя. С технической точки зрения, оно происходит как отбор некоторых элементов множества.

Все же прочие элементы его элементы оказывается, что называется, «за бортом». Данное обстоятельство и показывает, что аксиому выбора можно рассматривать как формулировку принципа сжимающих отображений.

Эквивалентность принципа познания и принципа сравнения. Все прочие приведённые формулировки аксиомы выбора основываются на различных типах сравнений. Данные сравнения совершаются в любой ситуации для произвольных объектов с учётом конкретной специфики имеющейся ситуации.

Иначе говоря, аксиома выбора гарантирует наличие приспособленной к нуждам изучения той или иной задачи линейки, как только в ней встанет реальная необходимость. Но особенности такой линейки, включая её масштаб, а также однозначную интерпретацию измеряемых ею величин, включая их удобный для всех заинтересованных специалистов размер, заранее для всех возможных случаев не могут быть определены.

Характерными примерами конкретных реализаций подобной линейки является деньги, температура и энергия, точнее, их измерение. Получаемые здесь оси, пусть даже и на первых этапах, оказываются ограниченными с одной стороны, что, в частности, позволяет ввести естественным образом определённую точку отсчёта или 0 (ноль) шкалы измерения.

Обычно измерительную систему выбирают так, чтобы имелась возможность работы с положительными объектами. Впрочем, не всегда такой подход бывает не только удобен, но и возможен.

Разумеется, при сравнении возможна и констатация равенства. Подобные обстоятельства складываются при игнорировании некоторых деталей, обусловленных спецификой ситуации.

Однако, обычно в ходе таких сравнений какой-то из объектов обязан «выходить из игры». Как следствие, сравнение невозможно без выбора, и потому оно является одним из следствий действия выбирающей функции.

Любые измерения, проводимые при помощи обсуждаемой линейки, дают конечные величины. Данное обстоятельство проистекает из конечности возможностей любых объектов Мироздания.

Гарантируя возможность сравнения, аксиома выбора не проливает света на то, как оно в самых общих чертах реализуется на практике в любой ситуации. Подобное обстоятельство характеризует не только связанную с аксиомой выбора абстрактность, но и показывает, что принцип сравнения эквивалентен принципу познания .

В наиболее общей формулировке принцип сравнения приводит к выделению эталона измерений, числовой системы и определению алгебраических операций, являющихся основой познания, а также проявления объектов в Мироздании. Изучение же сущности алгебраических операций приводит к выводу об их связи с дифференцированием 11, которое можно рассматривать как наиболее совершенную форму сравнений.

Отсутствие формулы у выбирающей функции. Собственно говоря, парадоксы аксиомы выбора, о которых вскользь будет говориться ниже, снискавшие ей не совсем здоровую славу, объясняются отсутствием «формулы выбирающей функции» в самом общем случае. Иначе говоря, функция имеется, а формулы её нет.