Знание-сила, 2006 № 06 (948)

В последние 10-15 лет положение кардинально изменилось. Через несколько недель я должен рассказывать студентам, как строить графики функций. Учебник ясно говорит — нельзя строить графики по нескольким произвольно выбранным значениям функции, как говорят, по точкам. Нужно искать характерные точки функции — минимумы, максимумы, перегибы, нули, а потом, опираясь на эти знания, нужно нарисовать эскиз графика. Вычисление конкретных значений может только несколько уточнить эскиз.

Я, в общем, согласен с доводами учебника — нетрудно привести пример функции, для которой вычисление нескольких значений и соединение их непрерывной кривой совершенно искажает картину. Но я знаю, что компьютер-то строит графики как раз по точкам! Я боюсь, что студенты будут смеяться надо мной, если я буду настаивать, что графики нельзя строить на компьютере. Это совсем не значит, что теория, которую я буду рассказывать, бесполезна. Я много раз видел, как нелепо использует возможности компьютера тот, кто никогда не строил графиков классическими методами. Нужно как-то совместить идеи математики теорем с идеями математики компьютеров.

В следующем семестре я должен рассказывать студентам, как с помощью компьютеров вычисляют, скажем, площадь сложной фигуры — говоря научно, берут интеграл. Для этого интересующую нас фигуру приближают системой прямоугольников, площади которых подсчитать и затем сложить для компьютера пара пустяков. Но вот вопрос — сколько же брать этих прямоугольников для того, чтобы обеспечить требуемую точность вычисления? На этот ясный вопрос учебник дает ясный ответ. Этот ответ сформулирован в виде теоремы, в которой связываются требуемая точность и необходимое число прямоугольников. Ответ зависит от деталей метода вычисления.

Конечно, я расскажу студентам все эти варианты теоремы. Однако для того, чтобы реализовать рекомендацию учебника, нужно вычислить несколько последовательных производных от функции, задающей границу интересующей меня фигуры (сколько именно — зависит от деталей метода). Хорошо, если граница задана аналитически, и я собираюсь вычислять производные на бумажке. Однако сейчас это выглядит архаизмом: вычисление нужно передоверить компьютеру, а для него вычисление производных — задача несравненно более сложная, чем вычисление интеграла. Дело в том, что для вычисления производной нужно разделить малое приращение функции на малое приращение аргумента, а при этом катастрофически теряется точность вычислений. Разумеется, математика давно разобралась, как поступать в этом случае. Соответствующие методы развил лет 40 назад академик А.Н.Тихонов, который руководил той кафедрой, на которой я сейчас работаю. Уж что-что, а эти идеи на кафедре знают. Беда только в том, что реализация идеи Тихонова (она называется регуляризацией) предполагает, что вычисление интегралов — давно пройденный этап.

Получившееся противоречие в жизни разрешается просто. Возьмем сначала N, а потом 2N прямоугольников. Если получившиеся при этом значения площади отличаются меньше, чем требуемая точность, то цель достигнута. Если же различия велики, то нужно еще вдвое увеличить количество прямоугольников. Это называется эмпирической оценкой Рунге. Оценка Рунге — не теорема. Это даже не математическая гипотеза. Ничего не стоит придумать пример, когда оценка Рунге дает неправильный результат потому, что граница фигуры очень изрезана. В этом случае компьютерщик спокойно говорит — ну, а чего ты ждал для такой границы? Возьми оценку получше. И предлагает другую оценку, которая не ближе к математическому эталону теоремы, чем оценка Рунге. Оказывается, что такие случаи встречаются в вычислительной математике повсеместно. Стандартный тип диссертации в этой области состоит в том, что найдено хоть какое-то обоснование метода, которым в данной задаче эмпирически пользовались десятилетиями. При этом на проблемы вроде обоснования оценки Рунге все уже закрывают глаза.

Замечательно, что Рунге вовсе не наш современник, а математик XIX века. Он жил в самый разгар борьбы за математическую строгость. Его работы, по-видимому, не привлекали внимание борцов с нестрогими рассуждениями, поскольку рассматривались как нечто, стоящее на обочине математики. Сейчас идеи Рунге выдвинулись в центр внимания науки. На самом деле, во все времена математики не затруднялись работать в духе Эйлера тогда, когда это казалось им разумным.

Каждый раз, когда я упоминаю на лекциях о каких-то важных, но нестрогих соображениях, студенты спрашивают, почему я не следую заветам великого Гильберта — вождя борцов за математическую строгость в начале XX века, автора знаменитых "проблем Гильберта". Приходится говорить, что он сам не затруднялся опускать проработку важных, но вспомогательных деталей в первоначальном изложении своих результатов. Версия статьи Гильберта, излагающей решение им одной из "проблем Гильберта", опубликованная в русском переводе его геометрических работ в 1948 году, содержит две сноски, в которых он честно рассказывает об этом.

Индийский уникум Раманужан работал в начале XX века в Англии в самой консервативной области математики — в теории чисел — в духе Эйлера, а два его английских учителя и друга, Харди и Литлвуд, с увлечением доводили его озарения до стандартов математической строгости, а после безвременной смерти друга написали о нем интереснейшие воспоминания.

Великий математик Колмогоров вошел в физику знаменитой статьей по теории турбулентности, написанной в 1941 году. Читая эту статью, невозможно заподозрить, что он математик, а не физик — в статье нет никаких теорем! Важно было только не заострять внимание математиков на таких нетрадиционных работах, иначе противостояние становилось острым. Вспоминаются дискуссии, которые происходили лет 25 назад, после того как физик, академик Зельдович, написал учебник математики, в котором заострял внимание не на теоремах, а на использовании математики в физике. Что только не говорили о них в запальчивости представители математической строгости!

С каждым новым поколением компьютеров и компьютерных программ противостояние компьютерной и традиционной математики обостряется все больше и больше. Делать вид, что ничего не произошло, теперь уже нельзя. Если упорствовать, то следующее поколение может начать просто игнорировать математику. Конечно, не пройдет и нескольких десятилетий, как выяснится, что без математики и компьютером не воспользуешься. Однако угроза перерыва математической традиции очень серьезна. Совершенно необходимо придумать, как естественно сочетать математику теорем и математику компьютеров. Нужно каким-то образом вернуться к мышлению Эйлера, не потеряв при этом достижений математики XIX и XX веков. Сейчас, пожалуй, никто не скажет, что ясно видит будущий этап развития математики. Однако в прошлом то или иное решение находилось, как только четко обозначалась проблема, с которой столкнулось развитие математики. Поэтому мы можем ожидать, что уже следующее поколение математиков предложит искомый синтез, который определит развитие этой науки на поколения вперед. Вы можете принять в этом участие!