Знание-сила, 2006 № 06 (948)

Дело в том, что Эйлер жил в XVIII веке, а математика того времени практически неотделима от физики. Перед Эйлером, видимо, вообще не вставал вопрос о том, кто же он — математик или физик. Забавно, что вообще линия раздела между математикой и физикой по-разному проходит во Франции, Германии, России, с одной стороны, и в англосаксонских странах (Великобритании, США и так далее), с другой. У нас математик — тот, кто доказывает теоремы, а у них — тот, кто пишет формулы. Те, кого у нас уверенно называют специалистами по теоретической физике, в англосаксонских странах работают на факультетах прикладной математики.

В истории математики теоремы и их доказательства выдвинулись на первый план в начале XIX века. В это время в математике произошел очередной кризис. Рассуждения, проводимые в духе Эйлера и его коллег, стали систематически приводить к парадоксам. Стало ясно, что так жить дальше нельзя. Несколько поколений математиков предприняли грандиозную ревизию математического анализа. Они постепенно шли все дальше в глубь понятий, задумываясь над тем, что раньше не вызывало никаких вопросов.

Для поколения Эйлера не казалось важным провести четкое различие между непрерывной и дифференцируемой функцией и разработать понятие предела. Этим занялся в начале XIX века Коши и его коллеги. Следующее поколение математиков задумалось над тем, что такое площадь и объем — раньше это казалось очевидным. Первый этап этих раздумий был связан с работами великого немецкого математика Римана, а само понятие площади и объема было разработано французским математиком Жорданом (у самого Римана не хватило жизни для выполнения намеченной программы). Жордан обнаружил, что нужно доказывать, например, что замкнутая кривая разбивает плоскость на внешнюю и внутреннюю части, и доказал соответствующую — очень трудную — теорему.

Еще поколение спустя этот уровень исследования показался недостаточным и французский математик Лебег предложил более глубокое и совершенное понимание того, что такое объем и плошадь. В отличие от подхода Жордана, который, в общем, опирается на идеи школьной геометрии, подход Лебега очень абстрактный и его в полной мере изучают только тс, кто хочет стать математиком-профессионалом. Достаточно сказать, что построенное Лебегом понятие — оно называется "мера" — включает как частные случаи не только площадь и объем, но и, как показал наш великий соотечественник Колмогоров, вероятность. В это время стало ясно, что нужно точно описать само понятие множества, на котором так или иначе строятся все остальные понятия, выработанные этими математиками. Это сделал немецкий математик Кантор.

Казалось — еще усилие и грандиозное наведение порядка в математике будет закончено.

Но на самом деле случился еще один кризис. В теории множеств Кантора и в технике математических доказательств обнаружились парадоксы. Некоторые из них, как оказалось, замечали еще античные философы. Например, парадокс лжеца: истинно или ложно утверждение "Я лгу"? Ведь если оно истинно, то я говорю неправду и мое утверждение, таким образом, ложно! Стало ясно, что нужно еще и еще усовершенствовать и шлифовать язык математики, технику доказательств. Например, разрешение парадокса лжеца предлагалось искать в том, чтобы последовательно уточнять, лгу ли я всегда, или только в отдельных случаях, а само парадоксальное утверждение считать плохо сформулированным. Эти поиски заняли весь XX век, и окончательное решение еще далеко не найдено. Книги, которые излагают полученные находки, захватывают гораздо больше, чем детективы Б. Акунина — нужно только немножко подучиться основам математики! Например, книга "Основания теории множеств" Френкеля и Бар- Хилела, перевод которой с не менее интересными примечаниями Есенина-Вольпина появился в 1966 году, захватывала так, что трудно было не проехать нужную тебе остановку.

Одно казалось ясным — нужно формулировать и доказывать строже. Нельзя идти на поводу у физиков, а тем более биологов, экономистов и других представителей прикладных наук. Пусть задача оказалась сложнее, чем мы думали, но путь развития указан правильно.

Беда подкралась незаметно. Сначала стали появляться теоремы, которые удачно сочетали строгость математических рассуждений и полную неправдоподобность выводов. Те, кто читали замечательную книгу Гашека о бравом солдате Швейке, помнят, как Швейк встретил в психиатрической лечебнице среди разнообразных людей, уклонявшихся от военной службы, сумасшедшего профессора математики, доказывавшего, что "внутри земного шара имеется другой шар, значительно больше наружного". Это, конечно, шутка, но не безобидная, а злая — в так называемой инвариантной проблеме объема действительно встречаются утверждения такого типа[* Г. Халвигер. "Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрии". М., Наука, 1966, стр. 196.]

На этом этапе достаточно было сказать — не делайте необоснованных выводов из теорем, не вычитывайте в них того, чего в них нет! По этому рецепту написаны многие книги по математике. В них действительно нет (наверное!) ошибок, но их почти невозможно читать и применять. Чем дальше, тем больше математические книги стали доступными только самым узким специалистам. Появились теоремы, доказательство которых занимает сотни страниц. Сомнительно, чтобы эти доказательства читали больше, чем 1-2 человека, а некоторые, наверное, в деталях не читал никто, кроме автора. Представители разных областей математики перестали понимать друг друга.

Но самый страшный удар нанесло появление компьютеров. Люди, далекие от математики, поначалу думали, что компьютеры — тогда они назывались электронными вычислительными машинами — это нечто из области математики. Математическое сообщество с редким единодушием думало иначе. С помощью компьютера можно решать различные задачи — поначалу числовые, выражая решение сложных задач через простые арифметические действия. Потом стало возможным производить на компьютерах алгебраические операции, приводить подобные члены, строить графики. Но вот что уж плохо поддается компьютеризации — это доказательство теорем. Конечно, и здесь нашлись исключения. Более того, удалось доказать, что все теоремы элементарной геометрии в принципе можно вывести из аксиом с помощью компьютера. Но эти "доказательства" совершенно непохожи на обычные математические доказательства. Многие привычные приемы традиционной математики в принципе нельзя доверить компьютеру (он не понимает выражений типа — выберем из всех этих множеств по элементу и образуем из них новое множество). Около 50 лет основная часть математического сообщества делала вид, что компьютер —полезная, но не имеющая отношения к математике вещь.