Josep Carrera - Трехмерный мир. Евклид. Геометрия

В доказательстве предложения 2 Архимед использовал метод исчерпывания, как и Евклид в предложении 2 книги XII. Он предположил, что

(1) S > T, и (2) S < T,

а затем показал: оба варианта ведут к противоречию. Следовательно, S должно непременно равняться Т. Но каким образом он догадался о существовании этого соотношения? Об этом мы никогда не узнаем.

Что касается предложения 1, Архимед использовал длины сторон l 6, l 12, l 24, l 48, l 96; L 6, L 24, L 12, L 48, L 96, соответствующих вписанным и описанным многоугольникам с 6, 12, 24, 48 и 96 сторонами. Для расчета этих длин он предложил итеративный алгоритм, с помощью которого начиная с ln можно было вычислить длину l 2n, а с помощью L n— L 2n, где n равно 6. В конце Архимед выразил отношение L 96< L < L 96и пришел к следующему результату:

223/71 < L/d < 22/7

Математик сделал важное наблюдение: соотношение между площадью круга S и радиусом в квадрате r 2и соотношение между длиной L окружности и ее диаметром d=2r равны. Числовое значение этого соотношения обозначается буквой π.

Другими словами, Архимед установил, что

S/r2 = L/d = π

Открытия, совершенные Евдоксом и систематизированные Евклидом, позволяют добиться значительных результатов в изучении круга и окружности. Необходимо также учесть, что Архимед использовал периметры, в то время как в папирусе Ринда и тексте Евклида говорится о площадях.

Решение задачи квадратуры круга «по-гречески», то есть при помощи линейки и циркуля, ускользало от геометров на протяжении нескольких столетий. В 414 году до н. э. афинский драматург Аристофан назвал своего персонажа, который хвалился тем, что построил квадратуру круга, шарлатаном. Но трудности не помешали многим выдающимся математикам делать попытки там, где потерпели поражение предшественники. Николай Кузанский (1401-1464), Оронций Финеус (1494-1555) и Грегуар де Сен-Венсан (1584-1667) опубликовали фантастические методы получения квадратуры круга, которые оказались ложными. В то же самое время Джеймс Грегори (1638-1675) и Иоганн Бернулли (1667-1748) разработали различные способы, позволяющие подойти к решению этой задачи с другой стороны. Немецкий ученый Иоганн Ламберт (1728-1777) первым доказал, что число π является иррациональным. Его соотечественник Фердинанд фон Линдеман (1852-1939) в 1880 году открыл, что π — еще и трансцендентное число, то есть не может быть корнем многочлена с рациональными коэффициентами. Это делало невозможным построение квадратуры круга при помощи только линейки и циркуля. Так пришлось отказаться от решения тысячелетней задачи, а мечты легиона искателей квадратуры круга, среди которых были английский философ Томас Гоббс и даже Наполеон, пошли прахом.

В «Началах» говорится преимущественно о геометрии.

Однако это сочинение также содержит три книги, написанные под явным влиянием пифагорейской школы и не зависящие от остальных. В них Евклид рассказывает об элементарных результатах теории делимости, в том числе о знаменитом алгоритме нахождения наибольшего общего делителя.

Для того чтобы понять книги VII, VIII и IX, необходимо владеть некоторыми основными понятиями. В книге VII Евклид дает все арифметические определения, которыми пользуется позже, но не представляет ни одного постулата. Самыми важными определениями являются следующие.

1 .Единица есть то, через что каждое из существующих считается единым.

2. Число — множество, составленное из единиц.

3. Часть есть число в числе, меньшее в большем, если оно измеряет большее.

4. «Части же — если оно его не измеряет».

5. Кратное же — большее от меньшего, если оно измеряется меньшим.

6. Четное число есть делящееся пополам.

7. Нечетное число есть [...] отличающееся на единицу от четного числа.

8. Четно-четное число есть четным числом измеряемое четное число раз.

9. Четно же нечетное есть четным числом измеряемое нечетное число раз.

10. Нечетно-четное есть нечетным числом измеряемое четным числом раз.

12. Простое число есть измеряемое только единицей.

13. Простые между собой числа суть измеряемые только единицей как общей мерой.

14. Составное число есть измеряемое некоторым числом.

21. Числа будут пропорциональны, когда первое от второго, а третье от четвертого будут или равнократными, или той же частью, или теми же частями.

23. Совершенное число есть то, которое будет равным своим частям (делителей).

Первое определение является чисто философским. В нем отрицается числовая природа единицы, хотя Евклид использо вал ее как число — например, в следующем определении. Он также различает понятия «часть» (2 — часть 6, так как является его делителем) и «части» (5 — «части» 6 по противоположной причине). Здесь наблюдается аналогия с книгой V, хотя в ней вместо «части» говорится об «отношении», гораздо более сложном понятии. «Части» — основа многих арифметических доказательств Евклида: он рассматривает их в книге VII и прибегает к ним в книгах VIII и IX. Евклид также устанавливает различие между четным числом (N = n + n = 2n) и нечетным (N = 2n + 1) и предлагает классификацию чисел (не очень точную) на основе формул, которые мы сегодня бы записали так:

2 m, 2 m(2n + + 1), (2m +1) (2n + 1). Самые важные понятия книги VII — понятие «первого» (простого) числа, «составного» и чисел, «первых между собой». Определение 20 сегодня выглядело бы так:

m/n = p/q

только если существует такое λ Є Q, при котором если n = λ х m, то q = λ х р.

В заключение Евклид приводит довольно спорное определение совершенного числа, которое вряд ли принадлежит пифагорейской школе VI века. Некоторые приписывают его Гиппократу Хиосскому.

Математика — царица наук, а арифметика — царица математики.

Карл Фридрих Гаусс

Книга VII начинается со знаменитого алгоритма Евклида, который изучается еще в школе:

если даны два числа т и п, то существует число р, являющееся частью и m, и n.

Его смысл заключается в следующем: от большего числа, например m, вычитается меньшее, n, столько раз, сколько возможно. Остается число r < n и рассматривается пара n, r, процедура повторяется несколько раз, в результате чего мы имеем последовательность пар m, n; n, r, r, s; s, t; t, u; ...; х, y, y, z.

В какой-то момент 2 будет равна у, и это означает, что отнимать больше нечего. Выполняя обратное действие, мы убеждаемся, что у является делителем х и, в конце концов, что z делит и m, и n. К тому же это их наибольший общий делитель, так как любой общий для m и n делитель d делит также и 2.

Таким образом, z называется наибольшим общим делителем пары m и n. Сумма общих делителей m и n обычно обозначается как v. Если v равна единице, то m и n являются «первыми между собой». Этот метод определения отношений между числами называется взаимным вычитанием. Мы уже рассматривали его с геометрической точки зрения, когда анализировали несоизмеримость стороны и диагонали квадрата. Основное различие между этими случаями состоит в том, что, согласно Евклиду, в арифметике этот процесс должен рано или поздно подойти к концу, а в геометрии он продолжается до бесконечности.