Josep Carrera - Трехмерный мир. Евклид. Геометрия

1. Совершенные числа (четные) оканчиваются на 6 и 8 (верно).

2.Они чередуются (неверно).

3.Существует одно совершенное число на каждый десятичный порядок — среди единиц, десятков, сотен, тысяч и так далее (неверно).

В XVIII веке Эйлер доказал теорему, взаимодополняющую теорему Евклида: каждое совершенное число (четное) имеет вид 2 nх (2 n+1-1), где 2 n+1-1 — простое число. На сегодняшний день все еще существуют нерешенные вопросы относительно совершенных чисел: неизвестно, бесконечен ли их ряд и существуют ли совершенные нечетные числа.

Начнем с последовательности нечетных чисел.

Начиная с 3 уберем третьи числа через каждые два.

Начиная с 5 уберем пятые числа через каждые пять и получим следующее.

И так далее. Вот список простых чисел до тысячи.

Последняя задача, которую стоит разобрать, — это алгоритм получения пифагоровых троек — трех натуральных чисел, подтверждающих теорему Пифагора, например 3, 4, 5; 5, 12, 13 и так далее, то есть таких чисел a, b и с, при которых а 2+ b 2= с 2.

Возможно, в Древнем Вавилоне знали метод нахождения пифагоровых троек, о чем свидетельствует вавилонская глиняная табличка, которую называют Plimpton 322. В ней содержится несколько троек, выраженных в шестидесятых долях. Пифагору приписывается авторство метода, позволяющего получить эти числа, основанного на гномоне квадратных чисел. Квадратное число — это то, которое можно выразить в виде квадрата (см. рисунок). Следовательно, мы имеем n ²+ (2n + 1) = (n+1) ². Для того чтобы составить пифагорову тройку, в которой катет и гипотенуза — два последовательных числа, гномон тоже должен быть квадратом, то есть 2n + 1 = k ², где k — нечетное число. Следовательно,

n = (k² - 1)/2, k нечетное.

Так можно получить тройки n = (k² - 1)/2, k, n +1 = (k² + 1)/2,

где k — нечетное число, образующее следующие таблицы.

Последовательность квадратных чисел 1, 4, 9,16 (n - 1) ², n ². Чтобы перейти от c n= n ²к c n + 1= (n + 1) ², нужно добавить гномон, равный 2n +1. То есть между ними всегда будет нечетное число.

Таким образом можно получить бесконечное множество троек, но не все: например, здесь не хватает тройки 8, 15, 17, в которой разница между катетом и гипотенузой равна двум единицам.

Платону приписывают обобщение этого метода Пифагора. Необходимо перейти от (n - 1) ²к (n + 1) ². Для этого надо сложить два гномона: 2n - 1, позволяющий перейти от (n - 1) ²к n ², и 2n + 1, позволяющий перейти от n ²к (n + 1) ². Всего надо добавить 4n. То есть (n - 1) ²+ 4n = (n + 1) ². Значит, n должно быть квадратным числом: n = k ². Так мы получаем тройки k ² - 1, 2k и k ²+ 1. При k = 4 мы получим уже упомянутую тройку 8,15,17. Запишем это в виде таблицы.

Приведенные таблицы различаются: в первой представлены простые тройки, то есть такие, у которых нет общего делителя; во второй цифры в столбцах с нечетным к можно разделить на 2, и мы получим некоторые значения первой таблицы. Можно сказать, что первая таблица включена во вторую. Но существует ли алгоритм, позволяющий получить все возможные пифагоровы тройки? Ответ на этот вопрос положительный, и дает его сам Евклид в лемме 1 книги X:

Существуют два квадратных числа, которые вместе образуют еще один квадрат.

Не вдаваясь в подробности, скажем, что Евклид использовал алгоритм α = λ ²-μ ², b = 2λμ, c = λ ²+ μ ², где λ и μ — взаимно простые числа, имеющие разную четность. Это условие необходимо соблюдать для того, чтобы тройки не повторялись и все составляющие их числа были простыми, без общих делителей. Действительно, нас интересуют только простые тройки, так как очевидно, что при любом натуральном числе k 3k, 4k, 5k тоже будут натуральными, ведь 3, 4 и 5 — натуральные. Все вышесказанное справедливо для любой пифагоровой тройки a, b, c.

Самым убедительным доказательством исторического значения труда Евклида являются многочисленные его копии и переиздания. Ни одно другое научное произведение античности не может похвастаться таким количеством переводов, изданий и комментариев.