Josep Carrera - Трехмерный мир. Евклид. Геометрия

«Геометрическое место точек, при котором отношение между расстоянием от заданной точки [фокусом] и от заданной прямой [директрисой] остается постоянным, является коническим сечением: эллипсом, параболой или гиперболой в зависимости от того, меньше, равно или больше единицы это расстояние».

Сочинение «Поризмы» включало 171 предложение, 38 лемм и 29 классов поризмов. Специалисты считают, что потеря этого труда является большой утратой. Евклид рассказывает о том, как можно получить неопределенные геометрические объекты, когда не заданы все их необходимые характеристики. Таким образом, поризм — это гибрид проблемы и теоремы: можно установить его наличие, но невозможно его продемонстрировать, так как он неопределен. В «Началах» термин «поризм» употребляется в значении непосредственного следствия из только что доказанной теоремы.

О «Конических сечениях» Франсиско Вера, переводчик «Начал» на испанский язык, пишет:

«...об их содержании мы можем только строить догадки. Современные критики полагают, что они были адаптацией сочинения Аристея на ту же тему и на основе него впоследствии написал свой трактат Аполлоний. Архимед несколько раз упоминает о различных свойствах конических сечений, которые, как он считал, были включены в сочинение Евклида».

Портрет работы фламандского художника Юстуса ван Гента называется «Евклид из Мегары» (1474), хотя на самом деле на нем изображен Евклид Александрийский.

Обложка «Математического собрания» Паппа Александрийского, издание 1589 года.

Марка Республики Сьерра Леоне с фрагментом «Афинской школы» Рафаэля, на которой изображен Евклид, делающий измерения циркулем.

«Оптика» имеет такую же структуру, как «Начала». В восьмом предложении Евклид дает геометрическое доказательство того, что видимые размеры двух равных и параллельных фигур обратно пропорциональны расстоянию от них до глаза. Возьмем два равных отрезка АВ и GD, расположенных на разном расстоянии от глаза Е. Проведем отрезки АЕ и EG. Взяв Е в качестве центра и EZ — за радиус, проведем часть окружности HZF. Треугольники EZG и EZD больше и меньше круговых секторов EZH и EZF соответственно.

Соотношение

ΔEZG/сектор (EZH) > ΔEZD/сектор (EZF)

Подставив другие значения, получаем

ΔEZG/ΔEZD > сектор (EZH)/сектор (EZF)

И объединив их, получаем

ΔEZG/ΔEZD = ΔEZG/ΔEZD + 1 > сектор (EHF)/сектор (EZF) = сектор (EZH)/сектор (EZF) + 1

Но ΔEZG/ΔEZD = GD/DZ = AB/DZ, поскольку GD=AB.

Поскольку AB/DZ = BE/ED получим:

BE/ED > сектор (E/HF)/сектор (EZF)

Соотношение между двумя отрезками одной окружности равно соотношению между соответствующими углами, то есть

BE/ED > (<���НЕF)/(

Этот труд также был утерян. Возможно, он был сводом всех знаний того времени о конических сечениях и имел педагогическую направленность.

Во введении мы сказали, что Пифагор выделял четыре математы. Евклид должен был рассмотреть их все, если хотел предложить полный образовательный курс математики. Неудивительно, что ему приписываются следующие тексты.

Законы природы — это математические мысли бога.

Евклид

«Явления» — книга о началах астрономии, где описывается видимая часть движущейся небесной сферы (кроме движения планет). В ней рассматриваются восходы и закаты звезд и подразумевается, что читатель знаком с основами сферической геометрии, которая не объясняется в «Началах». Небольшой трактат «Начала музыки», об авторстве которого нет точных сведений, содержит теорию музыкальных интервалов, изложенную в духе пифагорейской школы. «Оптика» — сочинение о перспективе, в котором, как и в «Явлениях», ставится вопрос о нашем знании того, что мы видим. Его цель — установить размеры видимого в зависимости от положения наблюдателя и от масштабов наблюдаемого объекта. Евклид утверждал, что видимость создается по направлению от глаза к предмету, что считалось верным, пока арабский эрудит аль-Хайсам (965-1039) в своем труде «Китаб аль-Маназир» («Книга оптики») не заявил прямо противоположное: мы видим, поскольку глаз получает один или несколько лучей света, отражаемых предметом. Несмотря на это книга Евклида считается одним из важнейших трудов по оптике из тех, что предшествовали работам Ньютона, а такие мыслители Возрождения, как Филиппо Брунеллески, Леон Баттиста Альберти и Альбрехт Дюрер, опирались на Евклида при разработке собственных трактатов о перспективе.

Авторство «Катоптрики» весьма спорно. Тем не менее необходимо сказать, что в ней приведено строгое геометрическое доказательство закона отражения света. Он гласит, что солнечные лучи отражаются под равными углами относительно горизонтальной (или вертикальной) оси. На примере рисунка 1 угол падения 0 равен углу отражения Евклид основывается на геометрическом предложении из Книги 1 «Начал»:

РИС.1

РИС. 2

Предложение 20 .В любом треугольнике сумма двух его сторон больше третьей стороны.

Оно доказывается следующим образом. Если отраженный луч образует два равных угла, мы получим отрезки АС и СВ\ если же эти углы не равны, то мы получим отрезки AD и DB. Проведем прямую СЕ, симметричную отрезку АС, и прямую DE, симметричную отрезку AD. Получим треугольник BED, где сторона BE короче суммы сторон BD и DE. Сумма отрезков АС и СВ меньше, чем сумма AD и DB (см. рисунок 2).

Доказав, что луч по закону отражения всегда проходит наиболее короткий путь между точками А, С и В, Евклид выдвигает интереснейшую гипотезу: сама природа заставляет луч выбирать именно этот, самый короткий путь, следуя так называемому принципу наименьшего времени.

При помощи такого изящного доказательства Евклид выдвинул важнейшую идею: в законах природы всегда задействованы минимальные величины. Это значит, что физическая величина, указанная в задаче, например расстояние, затраченное время, энергия и так далее, всегда будет настолько мала, насколько это возможно. Много веков спустя Пьер Ферма (1601-1665), вероятно, обратился к этой мысли, чтобы сформулировать закон отражения света, который описывает трансформации луча солнца, проходящего через разные среды: сначала через воздух, а затем через воду. Ферма утверждал, что его «путь будет тем, который он преодолеет за меньшее количество времени». Эта гипотеза гениального французского математика была подтверждена Готфридом Лейбницем (1646-1716): он использовал ее для доказательства важности дифференциального исчисления, которое применяется в том числе для нахождения наибольших и наименьших величин. Основываясь на общем принципе определения наименьших величин, швейцарский ученый Леонард Эйлер (1707-1783) создал новую область математики — вариационное исчисление. Но окончательно сформулировал этот основополагающий закон природы Пьер Луи Моро де Мопертюи, назвав его принципом наименьшего действия.