Александр Невеев - Ловушки разума и Ловцы душ. Убеждения, меняющие нашу жизнь, или Что заставляет нас купить дырку от бублика

Но вернемся к ситуации, когда нас интересует не комбинация, а ее числовое значение. Вот таблица всех числовых значений комбинаций, возникающих при бросании двух костей. Случаи получения двойки и тройки выделены.

Естественно, если наши кости одного цвета, то на глазок мы никак не определим, какой именно случай у нас перед глазами – «один-два» или «два-один», но если мы играем в кости достаточно долго, то заметим, что тройка выпадает примерно в два раза чаще двойки. Точнее, не заметим, а лишь будем получать последствия от более вероятного выпадения тройки, тогда как нам кажется, что вероятность эта равна вероятности выпадения двойки.

Вы даже можете подзаработать на этой неразличимой глазом особенности бросания костей. Попросите друга сыграть с вами в игру: он ставит на то, что при бросании двух костей выпадет двойка, а вы – на то, что выпадет тройка. Вы будете чаще выигрывать, а ваш друг, скорее всего, даже не поймет, почему так происходит.

Теперь и мы можем, подобно Галилео Галилею, правильно ответить на вопрос герцога Тосканского о том, почему при игре с тремя игральными костями десятка выпадает чаще девятки. Дело в том, что десятку при бросании трех игральных костей можно получить 27 способами, тогда как девятку – лишь 25. Это связано с тем, что комбинация «три-три-три» как бы съедает две комбинации.

Таким образом, если вы вдруг захотите поиграть с другом в бросание трех игральных костей, вам будет выгоднее ставить на то, что выпадет десять очков, чем на то, что выпадет девять, поскольку десять выпадает чаще.

Но давайте углубим свои познания и зададим более общий вопрос: а на какое количество очков надо поставить при бросании двух костей, чтобы максимально повысить вероятность выигрыша? Да и вообще, существует ли такое количество очков?

Для ответа на эти вопросы посмотрим на нашу таблицу и создадим на ее основе следующий график.

А вот тот же график, но в более наглядном виде (использованы разноцветные кости).

Как видим, чаще всего будет выпадать комбинация, дающая семь очков. Значит, именно на семерку и нужно ставить.

Но почему чаще всего при бросании двух игральных костей мы будем получать семерку? Потому что существует шесть способов получить семерку, пять способов получить шестерку и восьмерку, четыре способа получить пятерку и девятку и т. д. Другими словами, вероятность получения семи очков максимальна и составляет 6/36, или 1/6, или примерно 17 %.

Кстати, 7 – это еще и среднее арифметическое суммы очков, которая выпадает при бросании игральных костей. Действительно:

(2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12) / 11 = 7.

Итак, при бросании двух костей именно на семерку нужно ставить, чтобы максимально повысить вероятность вашего выигрыша.

Когда Галилео Галилей изобрел свой телескоп, он немедленно приступил к астрономическим наблюдениям. Он совершал их по многу раз, чтобы достичь максимальной точности. При этом Галилей заметил одну важную закономерность: маленькие ошибки в измерениях происходили намного реже серьезных ошибок.

Позднее эту закономерность вновь обнаружил и детально описал один из величайших математиков в истории – Карл Фридрих Гаусс (1777–1855). Он тоже проводил астрономические измерения и обнаружил ту же картину, что и Галилей. Но, в отличие от последнего, он математически описал эти отклонения и в итоге открыл кривую нормального распределения , которая сегодня носит в том числе и его имя: эту кривую называют колоколообразной кривой, кривой нормального распределения, кривой Гаусса или просто гауссианой.

Кривую нормального распределения мы получаем не только в случае ошибок измерения, но и в по-настоящему огромном количестве иных случаев.

Например, если вы будете стрелять по мишени достаточно долго (предположим, что вы не снайпер и не профессиональный спортсмен-стрелок), то в десятку (центр мишени) и в единицу (периферия мишени) вы попадете гораздо меньшее количество раз, чем в пятерку, шестерку, семерку и восьмерку. Если расположить результаты вашей стрельбы на графике, получится примерно такая картина.

Обратите внимание на форму получившейся кривой – она приближается к колоколообразной.

А теперь снова посмотрим на график, который мы получили, сопоставляя вероятности выпадения той или иной суммы очков при бросании двух игральных костей. Думаю, вы заметили, что как при стрельбе по мишени, так и при бросании игральных костей получаются похожие графики (за исключением того, что в случае бросания костей график гораздо более прямой и симметричный). Вот такая имеющая колоколообразную форму кривая и называется кривой нормального распределения.

Нормальное распределение – это не только кривая, не только график, но и самый настоящий закон. Например, если мы будем вести речь о тех или иных характеристиках человека, то, говоря упрощенно, закон нормального распределения будет звучать так: если характеристика присуща многим людям, то у большинства людей она будет иметь среднее значение .

Рост человека, его вес, размер груди и многие другие параметры подчиняются закону нормального распределения. Это означает, что мы априори , то есть еще до опыта, можем сделать целый ряд весьма полезных выводов. Например, в ситуации, когда вас остро интересует, какой размер груди у вашей новой знакомой, вероятнее всего, это будет что-то среднее.

Здесь срабатывает примерно та же логика, как в случае, когда мы при бросании игральных костей решаем, на какое количество очков ставить. Как мы уже знаем, ставить надо на то количество очков, которое выпадает чаще, то есть которое получается большим количеством способов.

Нормальное распределение помогает понять, почему так важно, чтобы выборка, на которой проводится то или иное исследование, была достаточно большой. Если выборка мала, то велика вероятность того, что в нее не попали важные части кривой нормального распределения, например, попал только один ее край. Да и вообще, репрезентативной является как раз та выборка, распределение значений в которой совпадает с распределением, присущим генеральной совокупности.

Любой валидный и надежный психологический опросник тоже построен по закону нормального распределения: для каждого измеряемого опросником психического качества существует диапазон значений, который является нормой.