Джеймс Глик - Хаос. Создание новой науки

В теории динамических систем слово «устойчивость» имеет разные значения, и в этом абзаце они немного перемешаны. Есть понятие устойчивости положения равновесия (так называемая устойчивость по Ляпунову). Пример с шариком в лунке и карандашом на острие – как раз про этот тип устойчивости. Причем, как справедливо отмечает автор, в одной и той же системе могут наблюдаться устойчивые и неустойчивые положения равновесия. Рассмотрим, например, качели, способные по своей конструкции совершить полный оборот. Пусть качели пусты, их никто не толкает и они неподвижны. Тогда они могут находиться в устойчивом положении равновесия (сиденье максимально близко к земле) и – теоретически – в неустойчивом (сиденье максимально далеко от земли). В отличие от устойчивости по Ляпунову, устойчивость «по Смейлу», более известная как структурная устойчивость, – это характеристика не отдельного состояния системы, а всей системы целиком. Возвращаясь к примеру с качелями: если немного изменить их конструкцию – например, сделать сиденье чуть шире или чуть уже либо слегка изогнуть поручни, – они будут вести себя примерно так же, как и раньше. У них по-прежнему будет два возможных положения равновесия, они по-прежнему могут колебаться или проворачиваться – даже если какие-то количественные характеристики их возможного движения изменятся, качественно все останется по-прежнему. В этом смысле система, описывающая качели, структурно устойчива. Понятие структурной устойчивости появилось в работе A. A. Андронова и Л. С. Понтрягина в 1937 году (там оно названо «грубостью»). Гипотеза, выдвинутая Смейлом, состояла в том, что хаос не может наблюдаться в структурно устойчивых системах.

Smale S. «On How I Got Started».

Ван дер Поль описал свое исследование в публикации: Nature. Vol. P. 363–364.

Опять же имеется в виду структурная устойчивость, а не устойчивость конкретного положения равновесия.

Ibid.

Бескомпромиссно математическое объяснение Смейлом этой работы см.: «Differentiable Dynamical Systems» // Bulletin of the American Mathematical Society. P. 747–817 (а также: The Mathematics of Time. P. 1-82).

Рёсслер.

Йорк.

Важнее обратное: даже точки, которые исходно находились очень близко друг к другу, из-за постоянных растяжений со временем окажутся на заметном расстоянии.

Гукенхеймер, Абрахам.

Абрахам.

Маркус, Инджерсолл, Уильямc; Marcus P. S. «Coherent Vortical Features in a Turbulent Two-Dimensional Flow and the Great Red Spot of Jupiter». Paper presented at the 110th Meeting of the Acoustical Society of America, Nashville, Tennessee, 5 November 1985.

Updike J. «The Moons of Jupiter» // Facing Nature. New York: Knopf, P. 74.

Инджерсолл; см. также: Ingersoll A. P. «Order from Chaos: The Atmospheres of Jupiter and Saturn» // Planetary Report. Vol. № P. 8–11.

Маркус.

Маркус.

Мэй, Шаффер, Йорк, Гукенхеймер. Знаменитый обзор уроков Мэя по теории хаоса в биологии: «Simple Mathematical Models with Very Complicated Dynamics» // Nature. Vol. R 459–467; а также: «Biological Populations with Nonoverlapping Generations: Stable Points, Stable Cycles, and Chaos» // Science. Vol. R 645–647; May R., Oster G. F. «Bifurcations and Dynamic Complexity in Simple Ecological Models» // The American Naturalist. Vol. R 573-Прекрасный обзор развития математического моделирования популяций еще до возникновения теории хаоса: Kingsland S. E. Modeling Nature: Episodes in the History of Population Ecology. Chicago: University of Chicago Press, 1985.

May R., Seger J. «Ideas in Ecology: Yesterday and Tomorrow», preprint. Princeton University. P. 25.

May R., Oster G. F. «Bifurcations and Dynamic Complexity in Simple Ecological Models» // The American Naturalist. Vol. R 573.

Мэй.

Удобства ради в данной весьма абстрактной модели численность особей выражается дробным числом, которое больше нуля, но меньше единицы, причем нуль обозначает вымирание, а единица – максимально возможную численность популяции, скажем, рыб в пруду. Итак, начнем: произвольно выберем значение параметра r , например 2,7, и начальную численность популяции, к примеру 0,Отнимем от единицы 0,02, получив 0,98, и умножим 0,98 на 0,02, получив в итоге 0,Теперь умножим результат на 2,7 и получим 0,Крошечная начальная численность популяции выросла более чем в два раза. Повторим процедуру, используя только что полученную численность особей в качестве исходных данных, и получим 0,С простым, дешевым калькулятором, в который можно ввести определенную программу, для получения такого результата нужно лишь нажимать одну и ту же кнопку снова и снова. Популяция увеличивается до 0,3159, затем до 0,5835, потом до 0,6562 – рост численности замедляется. Далее, по мере того как смертность от нехватки пропитания «догоняет» воспроизводство, численность будет равняться 0,6092, 0,6428, 0,6199, 0,6362, 0,Значения в числовом ряду скачут: то возрастают, то уменьшаются. Впрочем, заканчивается он строго определенным значением: 0,6328, 0,6273, 0,6312, 0,6285, 0,6304, 0,6291, 0,6300, 0,6294, 0,6299, 0,6295, 0,6297, 0,6296, 0,6297, 0,6296, 0,6296, 0,6296, 0,6296, 0,6296, 0,6296, 0,Это явный успех! Когда все расчеты выполнялись вручную и даже во времена механических счетных машинок с ручным приводом, дальше подобных вычислений дело особенно не шло. – Прим. автора.

Smith J. M. Mathematical Ideas in Biology. Cambridge: Cambridge University Press, R 18; Gold H. J. Mathematical Modeling of Biological Systems.

Мэй.

Hethcote H. W., Yorke J. A. Gonorrhea Transmission Dynamics and Control. Berlin: Springer-Verlag, 1984.

Благодаря компьютерному моделированию Йорк узнал, что система вынуждает водителей совершать больше поездок на заправочную станцию и постоянно наполнять бак; таким образом система в любой момент могла увеличить количество бензина, расточительно заправляемого в автомобили по всей стране.

Позднее записи из аэропорта подтвердили, что Йорк был прав.

Йорк.

Gell-Mann M. «The Concept of the Institute» // Emerging Syntheses in Science. Proceedings of the founding workshops of the Santa Fe Institute. Santa Fe: The Santa Fe Institute, P. 11.

Йорк, Смейл.

Имеется в виду следующее. Если взять число от О до 1 наугад (например, выбрать случайную точку на отрезке числовой прямой), оно почти наверняка окажется иррациональным, то есть будет представляться бесконечной непериодической десятичной дробью. Более того, последовательность цифр после запятой будет вести себя как результат случайного подбрасывания игральной кости с 10 гранями. Например, все возможные цифры будут встречаться с одинаковой частотой.

Йорк.

Доступный рассказ о линейности, нелинейности и ранних попытках использовать компьютер, для того чтобы понять разницу: Campbell D., Crutchfield J. P., Farmer J. D., Jen E. «Experimental Mathematics: The Role of Computation in Nonlinear Science» // Communications of the Association for Computing Machinery. Vol. P. 374–384.