Джеймс Глик - Хаос. Создание новой науки

Это не совсем точное описание. Верно, что точки, стартующие вне множества Мандельброта, обязательно стремятся к бесконечности. Собственно, в этом и состоит определение множества Мандельброта. Однако точки, стартующие внутри него, не обязаны стремиться к нулю или еще к какой-то неподвижной точке – например, они могут стремиться к периодической орбите.

При определенных значениях параметров это свойственно и системе Лоренца. Также в этой системе возможен и устойчивый предельный цикл. См., например: Неймарк Ю. И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. М: Либроком, 2009.

Йорк.

Йорк, заметки на конференции по перспективам биологической динамики и теоретической медицины в Бетесде, штат Мэриленд, 10 апреля 1986 года.

Йорк.

Сходным образом в тексте, который должен был рассказать о хаосе инженерам, X. Брюс Стюарт и Дж. М. Томпсон предупреждали: «Захваченный ложным чувством безопасности в силу знания уникального ответа линейной системы, загруженный делами аналитик или экспериментатор восклицает: „Эврика, вот решение!“, как только симуляция достигает равновесия в устойчивом цикле, и не дает себе труда исследовать тщательно зависимость результата от различных начальных условий. Чтобы избежать потенциально опасных ошибок и катастроф, промышленные дизайнеры должны быть готовы посвятить большую часть своих усилий изучению всего спектра динамических характеристик своих систем». Nonlinear Dynamics and Chaos. Chichester: Wiley, P. xiii.

The Beauty of Fractals. P. 136.

Например: «Iterated Function Systems and the Global Construction of Fractals» // Proceedings of the Royal Society of London. Ser. A. Vol. R 243–275.

Барнсли.

Хаббард.

Барнсли.

Фармер, Шоу, Крачфилд, Паккард, Бёрк, Науенберг, Абрахам, Гукенхеймер. Основная работа Роберта Шоу о теории информации в применении к хаосу: The Dripping Faucet as a Model Chaotic System. Santa Cruz: Aerial, 1984; а также см.: «Strange Attractors, Chaotic Behavior, and Information Theory» //Zeitschrift für Naturforschung. Vol. 36a. P. Рассказ о попытках некоторых студентов Санта-Круза выяснить закон рулетки с множеством красочных деталей из истории тех дней: Bass Т. The Eudemonic Pie. Boston: Houghton Mifflin, 1985.

Шоу.

Бёрк, Шпигель.

Spiegel Ε. A. «Cosmic Arrhythmias» // Chaos in Astrophysics / Ed. by J. R. Buchler et al. New York: D. Reidel, R 91-135.

Фармер, Крачфилд.

Шоу, Крачфилд, Бёрк.

Шоу.

Абрахам.

В истории с рулеткой, описанной одним из участников группы, Фармер представлен как главная фигура, а Паккард – второстепенная.

Бёрк, Фармер, Крачфилд.

Шоу.

Форд.

Здесь стоит отметить первый и второй методы Ляпунова, придуманные задолго до появления теории хаоса и широко используемые в современной литературе, когда исследуется устойчивость положений равновесия системы, а также локализуется область фазового пространства, содержащая аттрактор.

Шоу, Фармер.

Классическая работа на этот счет, до сих пор вполне читаемая: Shannon С. Е., Weaver W. The Mathematical Theory of Communication. Urbana: University of Illinois, 1963, с полезным предисловием Уивера.

Ibid. R 13.

В английском алфавите 26 букв.

Паккард.

Имеется в виду, что про каждую молекулу мы задаем вопрос, относится ли она к первому веществу, и записываем ответ: получается последовательность слов «да» и «нет».

Шоу.

Шоу, Фармер.

«Strange Attractors, Chaotic Behavior, and Information Flow».

Синай, в личной беседе.

Паккард.

Шоу.

Шоу.

Фармер; подход с точки зрения динамических систем к изучению иммунной системы и моделированию способности человеческого тела запоминать и творчески распознавать паттерны описан в работе: Farmer J. D., Packard N. H., Perelson A. S. «The Immune System, Adaptation, and Machine Learning», preprint. Los Alamos National Laboratory, 1986.

The Dripping Faucet. P. 4.

Ibid.

Крачфилд.

Шоу.

Фармер.

Эти методы, ставшие основой экспериментальных техник в очень многих областях, были усовершенствованы и расширены исследователями Санта-Круза и другими экспериментаторами и теоретиками. Одна из ключевых заявок, сделанных в Санта-Крузе: Packard Ν. Η., Crutchfield J. P., Farmer J. D., Shaw R. S. [канонический список авторов] «Geometry from a Time Series» // Physical Review Letters. Vol. P. Самая влиятельная работа по предмету: Takens F. «Detecting Strange Attractors in Turbulence» // Lecture Notes in Mathematics. Vol. 898 / Ed. by D. A. Rand and L. S. Young. Berlin: Springer-Verlag, P. Самый ранний, но довольно широкий обзор методов воссоздания фазового пространства аттракторов: Froehling H., Crutchfield J. R, Farmer J. D., Packard N. H., Shaw R. S. «On Determining the Dimension of Chaotic Flows» // Physica. Vol. 3D. P. 605–617.

Крачфилд.

Например, Науенберг.

Шоу.

Это не значит, однако, что студенты вообще игнорировали одномерные модели. Вдохновленный работой Мэя, в 1978 году Крачфилд провел так много времени за изображениями бифуркационных диаграмм, что был отстранен от графопостроителя в компьютерном центре и к тому же израсходовал слишком много специальных карандашей в процессе нанесения тысяч точек.

Фармер.

Фармер.

Шоу.

Крачфилд, Губерман.

Губерман.

Huberman В., Crutchfield J. R «Chaotic States of Anharmonic Systems in Periodic Fields» // Physical Review Letters. Vol. P. 1743.

Крачфилд.

Дебаты об этом продолжаются, например, в журнале Nature.

Рамси.

Farmer J. D., Ott E., Yorke J. A. «The Dimension of Chaotic Attractors» // Physica. Vol. 7D. R 153–180.

Ibid. R 154.

Губерман, Мэнделл (интервью и заметки на конференции по перспективам биологической динамики и теоретической медицины в Бетесде, штат Мэриленд, 11 апреля 1986 года). См. также: Huberman В. A. «A Model for Dysfunctions in Smooth Pursuit Eye Movement», preprint. Xerox Palo Alto Research Center, Palo Alto, California.

Абрахам. Базовое знакомство с гипотезой Геи – образный динамический взгляд на то, как сложные природные системы поддерживают саморегуляцию, разумно ограничивая свой рост в произвольный момент: Lovelock J. E. Ga/'a: A New Look at Life on Earth. Oxford: Oxford University Press, 1979.