Джеймс Глик - Хаос. Создание новой науки

Ферми; цит. по: Ulam S. M. Adventures of a Mathematician. New York: Scribners, Улам также описывает происхождение другой важной традиции в понимании нелинейности, проблемы Ферми – Паста – Улама. В поисках задач, которые можно было бы решить на новом компьютере MANIAC в Лос-Аламосе, ученые попробовали заняться динамической системой, которую представляет собой вибрирующая струна – простая модель, «имеющая к тому же корректный с точки зрения физики, небольшой нелинейный период колебаний». В результате они обнаружили паттерны, которые сливались в неожиданную периодичность. Как описал их находку Улам: «Результаты оказались абсолютно не такими, какими их ожидал увидеть в том числе Ферми со всем его глубоким знанием волновых движений… К нашему удивлению, струна начала играть в игру со стульями…» Ферми посчитал находку неважной, и она не приобрела широкую известность, но несколько математиков и физиков продолжили ее изучение, и она стала частью локального знания в Лос-Аламосе. Adventures. Р. 226–228.

Цит. по: «Experimental Mathematics». R 374.

Йорк.

Статья написана совместно с его студентом Тьен-Йеном Ли: «Period Three Implies Chaos» // American Mathematical Monthly. Vol. R 985–992.

Мэй.

Мэй; казалось бы, неразрешимый вопрос побудил его перейти от аналитических методов к числовым экспериментам и по крайней мере пробудил интуицию.

Постдок (англ. postdoc ) – человек, недавно получивший степень Ph. D . (аналог кандидата наук) и работающий исследователем на временной позиции. Как правило, после защиты диссертации молодой исследователь последовательно меняет несколько постдок-позиций в разных университетах, работая на каждой один-два года, прежде чем сможет получить постоянную позицию профессора.

Йорк.

Скажем, при r = 3,5 и начальной численности популяции 0,4 Мэй увидел следующий числовой ряд:

0,4000; 0,8400; 0,4704; 0,8719;

0,3908; 0,8332; 0,4862; 0,8743;

0,3846; 0,8284; 0,4976; 0,8750;

0,3829; 0,8270; 0,4976; 0,8750;

0,3829; 0,8270; 0,5008; 0,8750;

0,3828; 0,8269; 0,5009; 0,8750;

0,3828; 0,8269; 0,5009; 0,8750 и т. д. – Прим. автора

Английское слово bifurcation как раз и означает «разветвление». В дальнейшем в теории динамических систем этим словом стал обозначаться более широкий класс явлений, при которых системы меняют свои качественные характеристики.

«Coexistence of Cycles of a Continuous Map of a Line into Itself» // Ukrainian Mathematics Journal. Vol. R 61.

Александр Николаевич Шарковский (родился в 1936 году в Киеве) – советский и украинский математик, с 1978 года член-корреспондент АН УCCР с 2006-го – академик HAH Украины.

Синай, в личной беседе, состоявшейся 8 декабря 1986 года.

Это были Фейгенбаум и Свитанович.

Мэй.

Хоппенштедт.

Мэй.

Schaffer W. M., Kot M. «Nearly One-dimensional Dynamicsinan Epidemic» //Journal of Theoretical Biology. Vol. R 403–427; Schaffer W. M. «Stretching and Folding in Lynx Fur Returns: Evidence for a Strange Attractor in Nature» // The American Naturalist. Vol. R 798–820.

«Simple Mathematical Models». P. 467.

Ibid.

Мандельброт, Гилмор, Восс, Барнсли, Рихтер, Мамфорд, Хаббард, Шлезингер. Настольная книга Бенуа Мандельброта: The Fractal Geometry of Nature. New York: Freeman, Интервью с Энтони Барселлосом в: Mathematical People/ Ed. by D. J. Albers and G. L. Alexanderson. Boston: Birkhauser, Два эссе Мандельброта, которые не широкоизвестны, но крайне интересны: «On Fractal Geometry and a Few of the Mathematical Questions It Has Raised» // Proceedings of the International Congress of Mathematicians. 16–14 August 1983, Warsaw. P. 1661–1675; «Towards a Second Stage of Indeterminism in Science», preprint. IBM Thomas J. Watson Research Center, Yorktown Heights, New York. Обзорных статей о приложении фракталов слишком много, чтобы приводить их список, но есть два полезных примера: Sandler L, Sandler M. «Fractal Growth Processes» // Nature. Vol. R 789–793; Voss R. «Random Fractal Forgeries: From Mountains to Music» //Science and Uncertainty / Ed. by Sara Nash. London: IBM United Kingdom, 1985.

Хаутаккер, Мандельброт.

Цит. по: Fractal Geometry. P. 423.

Океанографический институт в Вудс-Хоуле, август 1985 года.

Мандельброт.

Мандельброт, Рихтер. Даже сейчас о Бурбаки написано немного; см. игривое введение в тему: Halmos R R. «Nicholas Bourbaki» // Scientific American. Vol. R 88–89.

Смейл.

Пайтген.

«Second Stage». R 5.

Мандельброт; Fractal Geometry. P. 74; Berger J. M., Mandelbrot B. «A New Model for the Clustering of Errors on Telephone Circuits» // IBM Journal of Research and Development. Vol. R 224–236.

Fractal Geometry. P. 248.

Например: Ibid. P. 1.

Ibid. R 27.

Ibid. R 17.

Ibid. R 18.

Мандельброт.

Fractal Geometry. P. 131; «On Fractal Geometry». R 1663.

Ф. Хаусдорф и А. С. Безикович.

Мандельброт.

Шольц; Scholz С. Н., Aviles CA. «The Fractal Geometry of Faults and Faulting», preprint. Lamont-Doherty Geophysical Observatory; Scholz С. Н. «Scaling Laws for Large Earthquakes» // Bulletin of the Seismological Society of America. Vol. R 1-14.

Перевод С. Я. Маршака.

Fractal Geometry. P. 24.

Шольц.

Шольц.

Bloom W., Fawcett D. W. A Textbook of Histology. Philadelphia: W. B. Saunders, 1975.

Один из обзоров этих идей см.: Goldberger A. L. «Nonlinear Dynamics, Fractals, Cardiac Physiology, and Sudden Death» // Temporal Disorder in Human Oscillatory Systems / Ed. by L. Rensing, U. An der Heiden, M. Mackey. New York: Springer-Verlag, 1987.

Голдбергер, Уэст.

Goldberger Α. L., Bhargava V, West B. J., Mandell A. J. «On a Mechanism of Cardiac Electrical Stability: The Fractal Hypothesis» // Biophysics Journal. Vol. P. 525.

Feder В. J. «The Army May Have Matched the Goose» // The New York Times. 30 November. №P. 16.

Мандельброт.

Cohen B. Revolution in Science. Cambridge, Mass.: Belknap, P. 46.

Мамфорд.

Рихтер.

Точно так же как Мандельброт мог впоследствии не признавать приписываемых Митчеллу Фейгенбауму заслуг, не ссылаясь на числа Фейгенбаума и универсальность Фейгенбаума. Вместо этого Мандельброт обычно упоминал математика П. Ю. Мирберга, который изучал итерации квадратичных отображений предположительно в начале 1960-х.

В математике существуют разные подходы к определению понятия размерности. Например, помимо размерности Хаусдорфа – Безиковича есть размерность Минковского, топологическая размерность (в отличие от двух других, она бывает только целой) и другие.

Рихтер.

Мандельброт.

Клафтер.

Родственный Губерману.

«Freedom, Science, and Aesthetics» // Schönheit im Chaos. P. 35.