Чарльз Петцольд - Код. Тайный язык информатики

Сейчас вы, вероятно, рады, что спросили: «А как насчет вычитания?»

В этой главе я говорил об отрицательных числах, но все еще не показал, как выглядят отрицательные двоичные числа. Вы можете предположить, что традиционный знак «–» используется с двоичными числами так же, как и с десятичными. Например, число –77 в двоичном формате записывается –1001101. Конечно, вы можете так его записать, однако одна из целей использования двоичных чисел заключается в том, чтобы представлять всё с помощью нулей и единиц, включая такие символы, как «–» перед отрицательным числом.

Можно просто использовать еще один бит для знака «–». Его значение 1 может соответствовать отрицательному числу, а 0 — положительному, и это будет работать, хотя мало что даст. Существует еще одно решение для представления отрицательных чисел, которое также предусматривает простой способ сложения отрицательных и положительных чисел. Недостаток этого метода — необходимость заранее решить, сколько цифр требуется для представления чисел, с которыми мы будем работать.

Давайте подумаем. Преимущество обычного способа представления положительных и отрицательных чисел заключается в том, что они могут иметь бесконечную длину. Мы представляем 0 как точку, от которой в одну сторону в бесконечность уходят положительные числа, а в другую — отрицательные.

… –1 000 000 –999 999 … –3 –2 –1 0 1 2 3 … 999 999 1 000 000 …

Однако представьте, что нам не нужно бесконечное количество чисел: с самого начала известно, что каждое число, которое встретится, будет находиться в определенном диапазоне.

Рассмотрим чековый банковский счет, в котором мы иногда сталкиваемся с отрицательными числами. Предположим, что баланс нашего счета никогда не превышал 500 долларов, и банк установил лимит перерасхода на те же 500 долларов. Это значит, что баланс нашего счета всегда находится в диапазоне от 499 до –500 долларов. При этом мы никогда не кладем на счет более 499 долларов, никогда не выписываем чек на сумму более 500 долларов и имеем дело только с долларами, центы же не учитываем.

Этот набор условий указывает, что при использовании нашего счета мы имеем дело с числами в диапазоне от –500 до 499. Это всего 1000 чисел. Такое ограничение подразумевает, что для представления всех нужных чисел мы должны использовать только три десятичные цифры и обходиться без знака «–». Хитрость в том, что нам не нужны положительные числа от 500 до 999, поскольку мы уже решили, что максимальным положительным числом для нас является 499. Таким образом, трехзначные числа от 500 до 999 фактически можно использовать для представления отрицательных чисел. Вот как это работает.

Вместо –500 используем 500.

Вместо –499 используем 501.

Вместо –498 используем 502.

…

Вместо –2 используем 998.

Вместо –1 используем 999.

Вместо 0 используем 000.

Вместо 1 используем 001.

Вместо 2 используем 002.

…

Вместо 497 используем 497.

Вместо 498 используем 498.

Вместо 499 используем 499.

Другими словами, каждое трехзначное число, которое начинается с цифры 5, 6, 7, 8 или 9, фактически является отрицательным. Вместо того чтобы записывать эти числа как:

–500 –499 –498 … –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 … 497 498 499,

запишем их:

500 501 502 … 996 997 998 999 000 001 002 003 004 … 497 498 499.

Обратите внимание: числа идут по кругу. Наименьшее отрицательное число (500) как бы следует за наибольшим положительным числом (499). А число 999 (которое фактически равно –1) на единицу меньше нуля. Если мы прибавим 1 к 999, то в обычных условиях получим 1000. Но поскольку мы имеем дело только с тремя цифрами, в результате будет 000.

Такой способ записи отрицательных чисел называется дополнением до десяти . Чтобы преобразовать трехзначное отрицательное число в дополнение до десяти, вычитаем его из 999 и прибавляем 1. Другими словами, дополнение до десяти — это дополнение до девяти плюс один. Например, чтобы найти дополнение числа –255 до десяти, нужно вычесть его из 999, получив 744, а затем прибавить 1, что в результате даст 745.

Вероятно, вы слышали утверждение, что вычитание — это просто прибавление отрицательных чисел. На что вы, вероятно, отвечали: «Да, но числа все равно приходится вычитать ». Используя дополнение до десяти, вы вообще ничего не вычитаете. Все сводится к сложению.

Предположим, у вас на счету 143 доллара. Вы выписываете чек на 78 долларов. Это означает, что вы должны прибавить –78 к 143. Дополнение числа –78 до десяти равно 999 – 078 + 1, то есть 922. Таким образом, ваш баланс теперь составляет 143 + 922, или 65 долларов (без учета переполнения). Если после этого вы выпишете чек на 150 долларов, придется прибавить число –150, дополнение которого до десяти равно 850. Итак, прибавим 850 к предыдущему балансу 065 и получим 915 — новый баланс. Это число фактически эквивалентно –85.

В двоичном формате подобная система называется дополнением до двух . Предположим, что мы работаем с 8-битными числами в диапазоне от 00000000 до 11111111, которые соответствуют десятичным числам от 0 до 255. Если вам требуется использовать отрицательные числа, то каждое 8-битное число, начинающееся с 1, фактически будет отрицательным:

Двоичное число

Десятичное число

10000000

–128

10000001

–127

10000010

–126

10000011

–125

…

…

11111101

–3

11111110

–2

11111111

–1

00000000

0

00000001

1

00000010

2

…

…

01111100

124

01111101

125

01111110

126

01111111

127

Теперь вы можете представить числа в диапазоне от –128 до +127. Старший значащий бит (крайний слева) называется знаковым разрядом . Знаковый разряд равен 1 для отрицательных чисел и 0 — для положительных.

Чтобы вычислить дополнение числа до двух, сначала вычислите его дополнение до единицы, а затем прибавьте 1. Это эквивалентно инвертированию всех цифр и прибавлению 1. Например, десятичное число 125 в двоичном формате выражается как 01111101. Чтобы выразить число –125 в виде дополнения до двух, сначала инвертируем цифры 01111101 для получения 10000010, а затем прибавим 1, в результате чего получим 10000011. Вы можете проверить результат по приведенной выше таблице. Для выполнения обратной операции повторите те же действия — инвертируйте все биты и прибавьте 1.

Эта система позволяет выражать положительные и отрицательные числа, не используя знак «–». Кроме того, с ее помощью можно складывать положительные и отрицательные числа, руководствуясь только правилами сложения. Например, сложим двоичные эквиваленты чисел –127 и 124. Это просто, если использовать в качестве шпаргалки предыдущую таблицу.

Результат эквивалентен числу –3 в десятичной системе счисления.

В данном случае нужно следить за условиями переполнения и исчезновения разряда. Такое может произойти, когда в результате сложения получается число больше 127 или меньше –128. Например, вы прибавляете 125 к 125.