Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

Зачастую нас совсем не интересует энергия в каждый данный момент колебания; во многих случаях достаточно знать лишь среднюю величину A 2( среднее значение квадрата А в течение времени, много большего, чем период колебаний). При этих условиях можно усреднить квадрат косинуса и доказать теорему: если А представляется комплексным числом, то среднее значение А 2равно 1/ 2 A 0 2. Здесь А 0 2— это квадрат модуля комплексного числа А . (Квадрат модуля ^ A записывают по-разному: |^ A | 2или ^ A ^ A *— в виде произведения числа ^ A на комплексно сопряженное.) Эта теорема пригодится нам еще много раз.

Итак, речь идет об энергии осциллятора, на который действует внешняя сила. Движение такого осциллятора описывается уравнением

(24.1)

Мы, конечно, предполагаем, что F ( t ) пропорциональна cos ω t . Выясним теперь, много ли приходится этой силе работать. Работа, произведенная силой в 1 сек , т. е. мощность, равна произведению силы на скорость. [Мы знаем, что работа, совершаемая за время dt , равна Fdx , а мощность равна F ( dx / dt ).] Значит,

(24.2)

Как легко проверить простым дифференцированием, первые два члена можно переписать в виде ( d / dt )[ 1/ 2 m ( dx / dt ) 2+ 1/ 2 m ω 0 2 x 2]. Выражение в квадратных скобках — производная по времени суммы двух членов. Это понятно; ведь первый член суммы — кинетическая энергия движения, а второй — потенциальная энергия пружины. Назовем эту величину запасенной энергией , т. е. энергией, накопленной при колебаниях. Давайте усредним мощность по многим циклам, когда сила включена уже давно и осциллятор изрядно наколебался. Если пробег длится долго, запасенная энергия не изменяется; производная по времени дает эффект, в среднем равный нулю. Иными словами, если усреднить затраченную за долгое время мощность, то вся энергия поглотится из - за сопротивления, описываемого членом γ m ( dx / dt ) 2. Определенную часть энергии осциллятор, конечно, запасет, но если усреднять по многим циклам, то количество ее не будет меняться со временем. Таким образом, средняя мощность

равна

(24.3)

Применяя метод комплексных чисел и нашу теорему о том, что < А 2>= 1/ 2 A 0 2, легко найти эту среднюю мощность. Так как x =^ x exp( i ω t ), то dx / dt = i ω^ x exp( i ω t ). Следовательно, средняя мощность равна

(24.4)

Если перейти к электрическим цепям, то dx / dt надо заменить на ток I (I — это dq / dt , где q соответствует х ), а m γ — на сопротивление R . Значит, скорость потери энергии (мощности силы) в электрической цепи равна произведению сопротивления на средний квадрат силы тока

(24.5)

Энергия, естественно, переходит в тепло, выделяемое сопротивлением; это так называемые тепловые потери, или джоулево тепло.

Интересно разобраться также в том, много ли энергии может накопить осциллятор. Не путайте этого вопроса с вопросом о средней мощности, ибо хотя выделяемая силой мощность сначала действительно накапливается осциллятором, потом на его долю остается лишь то, что не поглотило трение. В каждый момент осциллятор обладает вполне определенной энергией, поэтому можно вычислить среднюю запасенную энергию . Мы уже вычислили среднее значение ( dx / dt ) 2, так что

(24.6)

Если осциллятор достаточно добротен и частота ω близка к ω 0, то |^ х | — большая величина, запасенная энергия очень велика и можно накопить очень много энергии за счет небольшой силы. Сила производит большую работу, заставляя осциллятор раскачиваться, но после того, как установилось равновесие, вся сила уходит на борьбу с трением. Осциллятор располагает большой энергией, если трение очень мало, и потери энергии невелики даже при очень большом размахе колебаний. Добротность осциллятора можно измерять величиной запасенной энергии по сравнению с работой, совершенной силой за период колебания.

Что это за величина — накопленная энергия по сравнению с работой силы за цикл? Ее обозначили буквой Q . Величина Q — это умноженное на 2π отношение средней запасенной энергии к работе силы за один цикл (можно рассматривать работу не за цикл, а за радиан , тогда в определении Q исчезнет 2π)

(24.7)

Пока Q не слишком велика — это плохая характеристика системы, если же Q довольно большая величина, то можно сказать, что это мера добротности осциллятора. Многие пытались дать самое простое и полезное определение Q ; разные определения немногим отличаются друг от друга, но если Q очень велика, то все они согласуются друг с другом. При самом общем определении по формуле (24.7) Q зависит от ω. Если мы имеем дело с хорошим осциллятором вблизи резонансной частоты, то (24.7) можно упростить, положив ω=ω 0, тогда Q =ω 0/γ, такое определение Q было дано в предыдущей главе. Что такое Q для электрической цепи? Чтобы найти эту величину, надо заменить m на L, m γ на R и mω 0 2на 1/С (см. табл. 23.1). Тогда Q в точке резонанса равна Lω/ R , где ω — резонансная частота. В цепи с большой Q запасенная цепью энергия велика по сравнению с работой за один цикл, производимой поддерживающей колебания в цепи машиной.

Вернемся к основной теме — переходным решениям. Переходными решениями называются решения дифференциального уравнения, соответствующие ситуации, когда внешняя сила не действует, но система тем не менее не находится в покое. (Конечно, лучше всего решать задачу, когда сила не действует, а система покоится, покоится — ну и пусть покоится!) Соответствующие переходным решениям колебания можно вызвать так: заставить силу поработать, а потом выключить ее. Что тогда случится с осциллятором? Сначала подумаем, как будет вести себя система с очень большой Q . Если сила действовала долго, то запасенная энергия была постоянной и работа тратилась лишь для того, чтобы поддержать ее. Предположим теперь, что мы выключили силу, тогда трению, которое раньше поглощало энергию поставщика, питаться больше нечем — кормильца-то нет . И трение начинает пожирать запасенную осциллятором энергию. Пусть добротность системы Q/2π=1000. Это значит, что работа, произведенная за цикл, равна 1/1000 запасенной энергии. Пожалуй, разумно предположить, что при не поддерживаемых внешней силой колебаниях за каждый цикл будет теряться одна тысячная часть имеющейся к началу цикла энергии. Будем считать, что при больших Q изменение энергии описывается угаданным нами приближенным уравнением (мы еще вернемся к этому уравнению и сделаем его совсем верным!)