Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

Тогда можно записать

(31.7)

Подставляя это равенство в (31 6), получаем

(31.8)

Первый член в этом выражении есть просто поле источника, а второй следует приравнять Е а— полю, создаваемому осциллирующими зарядами пластинки справа от нее. Поле Е авыражено здесь через показатель преломления n; оно, разумеется, зависит от напряженности поля источника.

Смысл сделанных преобразований легче всего понять с помощью диаграммы комплексных чисел (см. фиг. 31.3).

Фиг. 31.3. Построение вектора поля прошедшей через материал волны при некоторых значениях t и z.

Отложим сперва E s(z и t выбраны на рисунке такими, что E sлежит на действительной оси, но это не обязательно). Задержка при прохождении пластинки приводит к запаздыванию фазы E s, т. е. поворачивает E sна отрицательный угол. Это все равно, что добавить малый вектор Е а, направленный почти под прямым углом к E s. Именно такой смысл имеет множитель (- i ) во втором члене (31.8). Он означает, что при действительном E sвеличина Е аотрицательная и мнимая, а в общем случае E sи E аобразуют прямой угол.

Мы должны теперь выяснить, имеет ли поле осциллирующих зарядов в пластинке тот же вид, что и поле Е аво втором члене (31.8). Если это так, то тем самым мы найдем и показатель преломления n [поскольку n — единственный фактор в (31.8), не выражающийся через фундаментальные величины]. Вернемся теперь к вычислению поля Е а, создаваемого зарядами пластинки. (Для удобства мы выписали в табл. 31.1 обозначения, которыми мы уже пользовались, и те, которые нам понадобятся в дальнейшем.)

Таблица 31.1 обозначения которыми мы пользуемся ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ

Если источник S (на фиг. 31.1) находится слева на достаточно большом расстоянии, то поле E sимеет одинаковую фазу по всей длине пластинки, и вблизи пластинки его можно записать в виде

(31.9)

На самой пластинке в точке z=0 мы имеем

(31.10)

Это электрическое поле воздействует на каждый электрон в атоме, и они под действием электрической силы qE будут колебаться вверх и вниз (если E0 направлено вертикально). Чтобы найти характер движения электронов, представим атомы в виде маленьких осцилляторов, т. е. пусть электроны упруго соединены с атомом; это значит, что смещение электронов из нормального положения под действием силы пропорционально величине силы.

Если вы слышали о модели атома, в которой электроны вращаются по орбите вокруг ядра, то эта модель атома вам покажется просто смешной. Но это лишь упрощенная модель. Точная теория атома, основанная на квантовой механике, утверждает, что в процессах с участием света электроны ведут себя так, как будто они закреплены на пружинах. Итак, предположим, «что на электроны действует линейная возвращающая сила, и поэтому они ведут себя как осцилляторы с массой m и резонансной частотой ω 0. Мы уже занимались изучением таких осцилляторов и знаем уравнение движения, которому они подчиняются:

(31.11)

(здесь F — внешняя сила).

В нашем случае внешняя сила создается электрическим полем волны источника, поэтому можно написать

(31.12)

где q e— заряд электрона, а в качестве E sмы взяли значение Е s=Е 0е iωtиз уравнения (31.10). Уравнение движения электрона приобретает вид

(31.13)

Решение этого уравнения, найденное нами раньше, выглядит следующим образом:

(31.15)

подставляя его в (31.13), получаем

откуда

(31.16)

Мы нашли то, что хотели,— движение электронов в пластинке. Оно одинаково для всех электронов, и только среднее положение («нуль» движения) у каждого электрона свое.

Теперь мы в состоянии определить поле Е а, создаваемое атомами в точке Р, поскольку поле заряженной плоскости было найдено еще раньше (в конце гл. 30). Обращаясь к уравнению (30.19), мы видим, что поле Е ав точке Р есть скорость заряда, запаздывающая по времени на величину z/c, умноженная на отрицательную константу. Дифференцируя х из (31.16), получаем скорость и, введя запаздывание [или же просто подставляя х 0из (31.15) в (30.18)], приходим к формуле

(31.17)

Как и следовало ожидать, вынужденное колебание электронов привело к новой волне, распространяющейся вправо (на это указывает множитель ехр[iω(t-z/c)]); амплитуда волны пропорциональна числу атомов на единице площади пластинки (множитель η), а также амплитуде поля источника (Е 0). Кроме того, возникают и другие величины, зависящие от свойств атомов (q e, m, ω 0).

Самый важный момент, однако, заключается в том, что формула (31.17) для Е aочень похожа на выражение Е ав (31.8), полученное нами с помощью введения запаздывания в среде с показателем преломления n. Оба выражения совпадают, если положить

(31.18)

Заметьте, что обе стороны этого равенства пропорциональны Δz, поскольку η — число атомов на единицу площади — равно NΔz, где N — число атомов на единицу объема пластинки. Подставляя NΔz вместо η и сокращая на Δz, получаем наш основной результат — формулу для показателя преломления, выраженную через константы, зависящие от свойств атомов, и частоту света: