Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

(31.23)

Вместо первого члена можно написать α —Е s 2, где α — коэффициент пропорциональности, связывающий среднее значение —Е 2с энергией, переносимой волной. Во втором члене необходимо включить поле излучения атомов среды, т. е. мы должны записать α —(Е s+E a) 2или (раскладывая квадрат суммы) α( —E s 2+ —2E sE a+ —Е а 2).

Все наши вычисления проводились в предположении, что толщина слоя материала мала и показатель преломления его незначительно отличается от единицы, тогда Е аоказывается много меньше E s(это было сделано с единственной целью — упростить вычисления). В рамках нашего приближения член —Е а 2следует опустить, пренебрегая им по сравнению с —E sE a. Вы можете на это возразить: «Тогда нужно отбросить и —E sE a, потому что этот член много меньше —Е s 2». Действительно, —E sE aмного меньше —Е s 2, но если мы выбросим этот член, то получим приближение, в котором эффекты среды не учитываются совсем! Правильность наших вычислений в рамках сделанного приближения проверяется тем, что мы всюду оставляли члены, пропорциональные N Δ z (плотности атомов в среде), но выбрасывали члены порядка ( N Δ z ) 2и более высоких степеней по N Δ z . Наше приближение можно было бы назвать «приближением малой плотности».

Заметим, кстати, что наше уравнение баланса энергии не содержит энергии отраженной волны. Но так и должно быть, потому что амплитуда отраженной волны пропорциональна N Δ z , а энергия пропорциональна ( N Δ z ) 2.

Чтобы найти последний член в (31.23), нужно вычислить работу, совершаемую падающей волной над электронами за 1 сек. Работа, как известно, равна силе, умноженной на расстояние; отсюда работа в единицу времени (называемая также мощностью) дается произведением силы на скорость. Точнее, она равна F· v, но в нашем случае сила и скорость имеют одинаковое направление, поэтому произведение векторов сводится к обычному (с точностью до знака). Итак, работа, совершаемая в 1 сек над каждым атомом, равна q e —E sv. Поскольку на единичную площадку приходится NΔz атомов, последний член в уравнении (31.23) оказывается равным NΔzq e —E sv. Уравнение баланса энергии принимает вид

(31.24)

Члены α —E s 2сокращаются, и мы получаем

(31.25)

Возвращаясь к уравнению (30.19), находим Е адля больших z:

(31.26)

(напомним, что η= N Δ z ). Подставляя (31.26) в левую часть равенства (31.25), получаем

Ho E s(в точке z ) равно E s(в точке атома) с запаздыванием на z / c . Поскольку среднее значение не зависит от времени, оно не изменится, если временной аргумент запаздывает на z / c , т. е. оно равно — E s(в точке атома)·v, но точно такое же среднее значение стоит и в правой части (31.25). Обе части (31.25) будут равны, если выполняется соотношение

(31.27)

Таким образом, если справедлив закон сохранения энергии, то количество энергии электрической волны, приходящееся на единичную площадку в единицу времени (то, что мы называем интенсивностью), должно быть равно ε 0с —Е 2. Обозначив интенсивность через —S, получим

(31.28)

где черта означает среднее по времени. Из нашей теории показателя преломления получился замечательный результат!

Теперь наступил удобный момент, чтобы применить методы настоящей главы к решению задачи другого рода. В гл. 30 мы говорили, что распределение интенсивности света — дифракционную картину, возникающую при прохождении света через отверстия в непрозрачном экране,— можно найти, равномерно распределив источники (осцилляторы) по площади отверстий. Другими словами, дифрагированная волна выглядит так, как будто источником служит дырка в экране. Мы должны выяснить причину этого явления, ведь на самом деле именно в дырке нет источников, нет никаких зарядов, движущихся с ускорением.

Ответим сначала на вопрос: что такое непрозрачный экран? Пусть между источником S и наблюдателем Р находится совершенно непрозрачный экран, как показано на фиг. 31.6, а.

Фиг. 31.6. Дифракция на непрозрачном экране.

Раз экран «непрозрачный», поле в точке Р отсутствует. Почему? Согласно общим принципам, поле в точке Р равно полю E s, взятому с некоторым запаздыванием, плюс поле всех остальных зарядов. Но, как было показано, поле E sприводит заряды экрана в движение, а они в свою очередь создают новое поле, и, если экран непрозрачный, это поле зарядов должно в точности погасить поле E sс задней стенки экрана. Тут вы можете возразить: «Каким чудом они в точности погасятся! А что, если погашение неполное?» Если бы поля гасились не полностью (напомним, что экран имеет некоторую толщину), поле в экране вблизи от задней стенки было бы отлично от нуля. Но тогда оно приводило бы в движение другие электроны экрана, создавая тем самым новое поле, стремящееся скомпенсировать первоначальное поле. Если экран толстый, в нем имеется достаточно много возможностей, чтобы свести остаточное поле к нулю. Пользуясь нашей терминологией, можно сказать, что непрозрачный экран обладает большим и чисто мнимым показателем преломления и поэтому волна в нем экспоненциально затухает. Вам, наверное, известно, что тонкие слои большинства непрозрачных материалов, даже золота, прозрачны.

Посмотрим теперь, какая возникнет картина, если взять такой непрозрачный экран с отверстием, какой изображен на фиг. 31.6, б. Каким будет поле в точке P? Поле в точке Р слагается из двух частей — поля источника S и поля экрана, т. е. поля от движения зарядов в экране. Движение зарядов в экране, по-видимому, очень сложное, но создаваемое ими поле находится довольно просто.