Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

Если бы мы нашли закон, определяющий работу, совершаемую при изъятии тепла Q 1при температуре Т 1и возвращении части этого тепла при температуре T 2, то эта величина была бы универсальной постоянной, не зависящей от свойств вещества. Конечно, если нам известны свойства какого-нибудь вещества, мы можем вычислить интересующую нас величину. После этого мы будем вправе заявить, что все остальные вещества, если с их помощью построить обратимую машину, произведут точно такую же работу. Такова основная идея, ключ, с помощью которого мы можем найти последующие соотношения. Например, мы хотим узнать, насколько резина сжимается при нагревании и насколько она остывает, когда мы позволяем ей сжаться. Предположим, что мы взяли резину в качестве рабочего вещества обратимой машины и совершили обратимый цикл. Чистый результат, полная произведенная работа,— это универсальная функция, великая функция, не зависящая от свойств вещества. Таким образом, мы убеждаемся, что есть нечто, ограничивающее в известном роде разнообразие свойств вещества. Мы не можем сделать эти свойства какими захотим, не можем изобрести вещество, которое, будучи использованным в тепловой машине, произвело бы за обратимый цикл работу больше допустимой. Этот принцип, это ограничение,— единственное реальное правило, которое можно вывести из термодинамики.

А сейчас попробуем найти закон, определяющий работу W как функцию Q 1, Т 1и Т 2. Ясно, что W пропорционально Q 1, ибо если две обратимые машины работают в параллель, то такая сдвоенная машина тоже будет обратимой машиной. Если каждая из этих машин поглощает тепло Q 1, то обе сразу поглощают 2Q 1, а работа, которую они совершают, равна 2 W и т. д. Поэтому пропорциональность W затраченному теплу Q 1вполне естественна.

После этого сделаем еще один важный шаг к универсальному закону. В качестве рабочего вещества машины можно взять одно вещество с хорошо известными нам свойствами. Воспользуемся этим и выберем идеальный газ. Можно и не делать этого, а вывести интересующее нас правило чисто логически, совсем не используя для этого какого-то вещества. Это одно из самых блестящих теоретических доказательств в физике, но пока мы используем менее абстрактный и более простой метод прямого вычисления.

Нам нужно лишь получить формулы для Q 1и Q 2(ведь W = Q 1- Q 2) — тепла, которым машина обменивается с резервуарами во время изотермического расширения и сжатия. Для примера вычислим Q 1— тепло, полученное от резервуара при температуре T 1во время изотермического расширения (кривая 1 на фиг. 44.6) от точки а , где давление равно p a , объем V a , температура Т 1, до точки b , где давление равно р b , объем V b , а температура та же самая T 1. Энергия каждой молекулы идеального газа зависит только от температуры, а поскольку в точках а и b одинаковы и температура, и число молекул, то и внутренняя энергия тоже одинакова. Энергия U не изменяется ; полная работа газа в период расширения

совершается за счет энергии Q 1, полученной из резервуара. Во время расширения pV = NkT 1или

значит,

(44.4)

т. е.

Вот то тепло, которое взято из резервуара при температуре Т 1. Точно так же можно вычислить и тепло, отданное при сжатии (кривая 3 на фиг. 44.6) резервуару при температуре T 2:

(44.5)

Чтобы закончить анализ, нужно еще найти соотношение между V c / V d и V b / V a . Для этого взглянем сначала на кривую 2, которая описывает адиабатическое расширение от b до c . В это время pV γостается постоянным. Поскольку pV = NkT , то формулу для адиабатического расширения в конечных точках пути можно записать в виде (pV)V γ-1=const, или TV γ-1=const, т. е.

(44.6)

Так как кривая 4 описывает адиабатическое сжатие от d до а , то

(44.6а)

Если поделить эти равенства одно на другое, то мы выясним, что отношения V b / V a и V c / V d равны, поэтому равны и логарифмы в (44.4) и (44.5). Значит,

(44.7)

Это и есть то соотношение, которое мы искали. Хотя оно доказано для машины с идеальным газом, мы уже знаем, что оно справедливо для любой обратимой машины .

А теперь посмотрим, как можно вывести этот универсальный закон на основании только логических аргументов, не интересуясь частными свойствами веществ. Предположим, что у нас есть три машины и три температуры Т 1, Т 2и Т 3. Одна машина поглощает тепло Q 1при температуре T 1, производит работу W 13и отдает тепло Q 3при температуре T 3(фиг. 44.8).

Фиг. 44.8. Спаренные машины 1 и 2 эквивалентны машине 3.

Другая машина работает при перепаде температур T 2и Т 3. Предположим, что эта машина устроена так, что она поглощает то же тепло Q 3при температуре Т 3и отдает тепло Q 2. Тогда нам придется затратить работу W 32, ведь мы заставили машину работать в обратном направлении. Цикл первой машины заключается в поглощении тепла Q 1и выделении тепла Q 3при температуре Т 3. Вторая машина в это время забирает из резервуара то же самое тепло Q 3при температуре T 3и отдает его в резервуар с температурой Т 2. Таким образом, чистый результат цикла этих спаренных машин состоит в изъятии тепла Q 1при температуре Т 1и выделении тепла Q 2при температуре T 2. Эти машины эквивалентны третьей, которая поглощает тепло Q 1при температуре Т 1, совершает работу W 12и выделяет тепло Q 2при температуре Т 2. Действительно, исходя из первого закона, можно сразу же показать, что W 12=W 13- W 32: