Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

Фиг. 47.4. Результирующая сила в направлении оси х, возникающая за счет давления на единичную площадку, перпендикулярную к оси х, есть — (∂P/∂x)Δх.

(47.10)

Мы учли, что Δx мало и что только избыточное давление Р u меняется в зависимости от х . Итак, согласно свойству III мы получаем

(47.11)

Теперь уже уравнений достаточно, чтобы увязать все величины и привести к одной переменной, скажем х . Можно выразить Р u в (47.11) с помощью (47.4):

(47.12)

а затем исключить ρ uс помощью (I). Тогда ρ 0сократится и у нас останется

(47.13)

Обозначим с s 2=ϰ, тогда можно написать

(47.14)

Это и есть волновое уравнение, которое описывает распространение звука в среде.

Посмотрим теперь, действительно ли волновое уравнение описывает основные свойства звуковых волн в среде. Прежде всего мы хотим вывести, что звуковое колебание, или возмущение, движется с постоянной скоростью. Кроме того, нам нужно доказать, что два различных колебания могут свободно проходить друг через друга, т. е. принцип суперпозиции. Мы хотим еще доказать, что звук может распространяться и вправо и влево. Все эти свойства должны содержаться в нашем одном уравнении.

Раньше мы отмечали, что любое возмущение, имеющее вид плоской волны и движущееся с постоянной скоростью, записывается в виде f ( x - vt ). Посмотрим теперь, является ли f ( x - vt ) решением волнового уравнения. Вычисляя ∂χ/∂ x , получаем производную функции d χ/ dx = f '( x - vt ). Дифференцируя еще раз, находим

(47.15)

Дифференцируя эту же функцию χ по t , получаем значение — V , умноженное на производную, или ∂χ/∂ t =- vf ( x - vt ); вторая производная по времени дает

(47.16)

Очевидно, что f ( х - vt ) удовлетворяет волновому уравнению, если v равно c s .

Таким образом, из законов механики мы получаем, что любое звуковое возмущение распространяется со скоростью c s и, кроме того,

тем самым мы связали скорость звуковых волн со свойствами среды .

Легко увидеть, что звуковая волна может распространяться: и в направлении отрицательных х , т. е. звуковое возмущений вида χ( х, t )= g ( x + vt ) также удовлетворяет волновому уравнению. Единственное отличие этой волны от той, которая распространялась слева направо, заключается в знаке v , но знак д 2χ/ dt 2не зависит от выбора x + vt или х - vt , потому что в эту производную входит только v 2. Отсюда следует, что решение уравнения описывает волны, бегущие в любом направлении со скоростью c s .

Особый интерес представляет вопрос о суперпозиции решений. Допустим, мы нашли одно решение, скажем χ 1. Это значит, что вторая производная χ 1по х равна второй производной χ 1по t 1, умноженной на 1/ с s 2. И пусть есть второе решение χ 2, обладающее тем же свойством. Сложим эти два решения, тогда получается

(47.17)

Теперь мы хотим удостовериться, что χ( х, t ) тоже представляет некую волну, т. е. χ тоже удовлетворяет волновому уравнению. Это очень просто доказать, так как

(47.18)

и вдобавок

(47.19)

Отсюда следует, что ∂ 2χ/∂ x 2=(1/ c s 2)∂ 2χ/∂ t 2, так что справедливость принципа суперпозиции проверена. Само существование принципа суперпозиции связано с тем, что волновое уравнение линейно по χ.

Теперь естественно было бы ожидать, что плоская световая волна, распространяющаяся вдоль оси х и поляризованная так, что электрическое поле направлено по оси y, тоже удовлетворяет волновому уравнению

(47.20)

где с — скорость света. Волновое уравнение для световой волны есть одно из следствий уравнений Максвелла. Уравнения электродинамики приводят к волновому уравнению для света точно так же, как уравнения механики приводят к волновому уравнению для звука.

При выводе волнового уравнения для звука мы получили формулу , которая связывает при нормальном давлении скорость движения волны и относительное изменение давления с плотностью:

(47.21)

Чтобы оценить скорость изменения давления, очень важно знать, как при этом меняется температура. Можно ожидать, что в местах сгущения звуковой волны температура повысится, а в местах разрежения — понизится. Ньютон первым вычислил скорость изменения давления с плотностью, предположив, что температура при этом не меняется. Он считал, что тепло передается из одной области звуковой волны в другую так быстро, что температура измениться не успеет. Способ Ньютона дает изотермическую скорость звука, что неправильно. Правильное вычисление было сделано позже Лапласом, считавшим вопреки Ньютону, что давление и температура в звуковой волне меняются адиабатически. Поток тепла из области сгущения в область разрежения пренебрежимо мал, если только длина волны велика по сравнению с длиной свободного пробега. При этих условиях ничтожная утечка тепла в звуковой волне не влияет на скорость звука, хотя и приводит к небольшому поглощению звуковой энергии. Мы можем, естественно, ожидать, что поглощение тепла усилится, когда длина волны приблизится к длине свободного пробега, но такие длины волн примерно в миллион раз меньше длины волны слышимого звука.