Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

т. е. фазовая скорость ω/k снова больше скорости света!

Рассмотрим теперь групповую скорость. Она должна быть равна скорости, с которой движется модуляция, т. е. d ω/ dk .

Чтобы найти ее, нужно продифференцировать квадратный корень; это дело нехитрое. Производная равна

Но входящий сюда квадратный корень есть попросту ω/ с , так что эту формулу можно записать в виде dω/dk=c 2k/ω. Далее, так как k/ω равно р / Е , то

Но, согласно (48.20) и (48.21), с 2 р / Е равно v — скорости частицы в классической механике. Таким образом видно, что, принимая во внимание основные квантовомеханические соотношения E = ℏ ω и p =ℏ k , определяющие ω и k через классические величины Е и р и дающие только уравнение ω 2- k 2 c 2== m 2 с 4/ℏ 2, теперь можно понять также соотношения (48.20) и (48.21), связывающие Е и р со скоростью. Групповая скорость, разумеется, должна быть скоростью частиц, если эта интерпретация вообще имеет какой-либо смысл. Пусть в какой-то момент, как мы полагаем, частица находится в одном месте, а затем, скажем через 10 минут,— в другом. Тогда, согласно квантовой механике, расстояние, пройденное «колоколом», разделенное на интервал времени, должно равняться классической скорости частицы.

Мы заканчиваем наше обсуждение волн несколькими общими замечаниями о волновом уравнении. Эти замечания, призванные дать нам картину того, чем нам предстоит заниматься в будущем, вовсе не претендуют на то, чтобы вы поняли их сразу; они должны скорее показать, как будут выглядеть все эти вещи, когда вы несколько больше познакомитесь с волнами. Мы уже записали уравнение для распространения звука в одном измерении:

здесь с — скорость того, что мы назвали волнами. Если речь идет о звуке, то это скорость звука, если о свете — то это скорость света. Мы показали, что для звуковой волны перемещения частиц должны распространяться с некоторой скоростью. Но избыточное давление, как и избыточная плотность, тоже распространяется с некоторой скоростью. Таким образом, можно ожидать, что и давление будет удовлетворять этому же уравнению.

Так оно и есть на самом деле, однако докажите это самостоятельно. Указание : ρ u пропорционально скорости изменения χ с расстоянием х . Следовательно, продифференцировав волновое уравнение по х , мы немедленно обнаружим, что ∂χ/∂ x удовлетворяет тому же самому уравнению. Другими словами, ρ uудовлетворяет тому же самому уравнению. Но Р u пропорционально ρ u, поэтому и Р u удовлетворяет тому же самому уравнению. Таким образом, и давление, и перемещение — все описывается одним и тем же уравнением.

Обычно волновое уравнение для звука записывается через давление, а не через перемещение. Это проще, потому что давление — скаляр и не имеет никакого направления. Но перемещение есть вектор, и поэтому лучше иметь дело с давлением.

Следующий вопрос, который нам предстоит обсудить, относится к волновому уравнению в трехмерном пространстве. Мы знаем, что звуковая волна в одномерном пространстве описывается решением ехр[i(ωt- kx )], где ω=kc s. Кроме того, нам известно, что в трех измерениях волна описывается выражением exp[i(ωt- k x x - k y y - k z z )], и в этом случае ω 2=k 2с s 2[сокращенная запись (k x 2+k y 2+k z 2)c S 2]. Сейчас мы хотим просто угадать вид волнового уравнения в трехмерном пространстве. Естественно, что в случае звука это уравнение можно получить с помощью тех же самых динамических соображений, но уже в трехмерном пространстве. Однако мы не будем сейчас делать этого, а просто напишем ответ: уравнение для давления или перемещения (или чего-то другого) имеет вид

(48.23)

правильность этого уравнения может быть легко проверена подстановкой в него функции exp[i(ωt- k· r)]. Ясно, что при каждом дифференцировании по х происходит умножение на - ik x . Если мы дифференцируем дважды, то это эквивалентно умножению на - k 2 x , так что для такой волны первый член получится равным - k x 2 P u . Точно таким же образом второй член окажется равным -k у 2 Р u , а третий — равным - k z 2 P u . С правой же стороны мы получим -ω 2/c s 2Р u. Если мы вынесем 1 за скобку Р и и изменим знаки всех членов, то увидим, что между k и ω как раз получится желаемое соотношение.

Возвращаясь назад, мы должны прийти к основному уравнению, соответствующему дисперсионному соотношению (48.22) для квантовомеханической волны. Если φ — амплитуда нахождения частицы в момент t в точке с координатами x, y и z, то основное уравнение квантовой механики для свободной частицы имеет вид

(48.24)

Прежде всего заметим, что релятивистский характер этого уравнения гарантируется появлением координат x, y, z и времени t в такой удачной комбинации, что она автоматически учитывает принцип относительности. Кроме того, это уравнение волновое. Если подставить в него плоскую волну, то как следствие мы получим равенство -k 2+ω 2/c 2=m 2c 2/ ℏ 2, которое должно выполняться в квантовой механике. В этом волновом уравнении содержится еще одна фундаментальная вещь: любая суперпозиция волн также будет его решением. Таким образом, это уравнение опирается на всю квантовую механику и всю теорию относительности, которая уже обсуждалась нами до сих пор, по крайней мере когда мы имели дело с единственной частицей в пустом пространстве без всяких потенциалов и воздействующих на нее сил!

Вернемся теперь к другим очень любопытным примерам биений, которые немного отличаются от того, что мы рассматривали до сих пор. Представьте себе два одинаковых маятника, которые связаны между собой слабой пружинкой. Длины их должны быть одинаковыми с возможно большей точностью. Если мы оттянем один маятник и отпустим его, то он будет качаться взад и вперед и будет тянуть то взад, то вперед связывающую пружинку, т. е. получится устройство, создающее силу с собственной частотой второго маятника. Можно заключить из знакомой нам теории резонансов, что если к какому-то предмету прикладывать с надлежащей частотой силу, то она будет двигать этот предмет. Таким образом, ясно, что один маятник, двигаясь взад и вперед, будет раскачивать второй. Однако при этих условиях происходит некое новое явление, связанное с тем, что энергия системы конечна. Первый маятник постепенно растрачивает свою энергию, вызывая движение другого маятника, и в конце концов полностью отдаст свою энергию и остановится. Вся энергия теперь будет сосредоточена во втором маятнике. Но пройдет немного времени и все будет происходить наоборот: энергия из второго маятника будет перекачиваться назад, в первый маятник. Это очень интересное и занимательное явление. Мы сказали, что оно связано с теорией биений, и сейчас мы должны показать, как можно понять это явление с точки зрения этой теории.