Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

(49.10)

Из рисунка ясно, что k x = kcos θ, а k y = k sinθ.

Таким образом, наше выражение для перемещения прямоугольной перепонки барабана (назовем это перемещение φ) запишется в виде

(49.11а)

Хотя выглядит это довольно неприглядно, сумма таких экспонент, в сущности, не так уж громоздка. Их можно свернуть в синусы, так что перемещение, как оказывается, приобретает вид

(49.11б)

Другими словами, получились знакомые синусоидальные колебания, форма которых тоже синусоидальна как в направлении оси х, так и в направлении оси у. Граничные условия при x =0 и y =0 удовлетворяются автоматически. Однако мы хотим, кроме того, чтобы φ обращалось в нуль при х = а и у = b . Для этого мы должны наложить два дополнительных условия, а именно k x a и k x b должны быть равны целому числу n (эти целые числа могут быть разными для k x a и k y b !). Но поскольку, как мы видели, k x = k cosθ и k y = k sinθ, то отсюда немедленно получаются уравнения (49.7) и (49.8), а из них следует окончательный результат (49.9).

Возьмем теперь для примера прямоугольник, ширина которого вдвое больше высоты. Если положить а =2 b и воспользоваться уравнениями (49.4) и (49.9), то можно вычислить частоты всех гармоник

(49.12)

В табл. 49.1 перечислено несколько простых гармоник и качественно показана их форма.

Таблица 49.1 ПРОСТЫЕ ГАРМОНИКИ И ИХ ФОРМА

Следует отметить наиболее важную особенность этого частного случая — частоты не кратны ни друг другу, ни какому-то другому числу. Представление о том, что собственные частоты гармонически связаны друг с другом, в общем случае неверно. Оно неверно ни для системы размерности, большей единицы, ни даже для одномерной системы, более сложной, чем однородная и равномерно натянутая струна. Простейшим примером может служить подвешенная цепочка, натяжение которой вверху меньше, чем внизу. Если возбудить в такой цепочке гармонические колебания, то возникнут собственные гармоники с различными частотами, однако частоты не будут просто кратными какому-то числу, да и сама форма гармоник больше не будет синусоидальной.

Еще причудливей оказываются гармоники более сложных систем. Человеческий рот, например, представляет собой полость, расположенную над голосовыми связками. Движением языка и губ можно создать либо трубу с открытым концом, либо трубу с закрытым концом, причем диаметры и формы этой трубы будут раз личными. В общем это страшно сложный резонатор, но тем не менее все же резонатор. При разговоре мы с помощью голосовых связок создаем какой-то тон. Тон этот довольно сложен, в него входит множество звуков, но благодаря различным резонансным частотам полость рта еще больше модифицирует его. Певец, например, может петь различные гласные: «а», «о», «у» и еще другие с той же самой высотой, но звучат они по-разному, ибо различные гармоники по-разному резонируют в этой полости. Огромную роль резонансных частот полости в образовании голосовых звуков можно продемонстрировать на очень простом опыте. Как известно, скорость звука обратно пропорциональна квадратному корню из плотности, поэтому для разных газов она различна. Если вместо воздуха мы используем гелий, плотность которого меньше, то скорость звука в нем окажется больше и все резонансные частоты полости будут больше. Следовательно, если бы мы могли перед тем, как начать говорить, наполнить наши легкие гелием, то, хотя голосовые связки по-прежнему колебались бы с той же частотой, характер нашего голоса резко изменился бы.

Напоследок необходимо подчеркнуть, что гармоники возникают не только в сложных непрерывных системах, но и в очень простых механических системах. Хорошим примером этого служит рассмотренная в предыдущей главе система двух связанных маятников. Там мы показали, что общее движение этой системы можно рассматривать как суперпозицию двух типов гармонических движений с различными частотами, так что даже такую систему можно рассматривать с точки зрения собственных гармоник. В струне возбуждается бесконечное число собственных гармоник, у двумерной поверхности их тоже бесконечно много. В каком-то смысле здесь получается даже двойная бесконечность (если бы мы только знали, как работать с бесконечностями!). Но в простом механическом устройстве, обладающем только двумя степенями свободы и требующем для своего описания лишь двух переменных, возбуждаются всего две гармоники.

Попробуем найти математически эти две гармоники для случая, когда длины маятников одинаковы. Пусть отклонение одного маятника будет х , а другого — y, как это показано на фиг. 49.5.

Фиг. 49.5. Два связанных маятника.

При отсутствии пружины сила тяжести, действующая на первый маятник, пропорциональна его отклонению. Если бы здесь не было пружины, то для одного маятника появилась бы некоторая собственная частота ω 0, а уравнение движения в этом случае приобрело бы вид

(49.13)

Второй маятник при отсутствии пружины качался бы точно так же, как и первый. Однако при наличии пружины в дополнение к восстанавливающей силе, возникающей в результате гравитации, появляется еще добавочная сила от пружины, которая стремится «стянуть» маятники. Эта сила зависит от превышения отклонения х над отклонением у и пропорциональна их разности, т. е. она равна некоторой постоянной, зависящей только от геометрии, умноженной на ( х - у ). Та же сила, но в обратном направлении действует на второй маятник. Поэтому уравнения движения, которые мы должны решить, будут следующими: