Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

Теперь обратимся к некоторым идеям, связанным с потенциальной энергией и с понятием поля . Пусть два больших тела А и В притягивают к себе третье малое тело с суммарной силой F. Мы уже отмечали в гл. 12, что сила притяжения частицы может быть представлена как произведение ее массы m на вектор С, зависящий лишь от положения частицы:

Тяготение можно анализировать, считая, что в каждом месте пространства имеется вектор С, который «действует» на массу, помещенную в это место, но который присутствует там безотносительно к тому, поместили ли мы туда массу или нет. Вектор Симеет три составляющие, и каждая из них является функцией от ( х, y, z ) — функцией положения в пространстве. Такую вещь мы называем полем и говорим, что тела А и В создают поле, т. е. «делают» вектор С. Когда тело помещено в поле, то сила действия на это тело равна его массе, умноженной на величину вектора поля в той точке, куда тело попало.

С потенциальной энергией можно сделать то же самое. Так как потенциальная энергия, интеграл от (Сила)·( ds ), может быть записана в виде массы m , умноженной на интеграл от (Поле)·( ds ) — это простое изменение масштаба, — то потенциальную энергию U ( x, у , z) тела, расположенного в точке ( x, y, z ), можно записать как произведение m на другую функцию. Назовем ее потенциалом Ψ. Интеграл ∫ C·d sравен -Ψ, подобно тому как ∫ F·d s=- U ; они отличаются только масштабом:

(14.7)

Зная в каждой точке пространства эту функцию Ψ( х, y , z), можно немедленно вычислить потенциальную энергию тела в любой точке, а именно U ( x, у, z )= m Ψ( x, y, z ). Теперь, как видите, это стало делом пустяковым. Но на самом деле это отнюдь не пустяк, потому что иногда намного приятнее описать поле, задав распределение потенциала во всем пространстве, чем задавать С. Вместо трех сложных компонент векторной функции проще задать скалярную функцию Ψ. Кроме того, когда поле создается многими массами, величину Ψ рассчитывать легче, чем три компоненты С: потенциалы — скаляры, их можно просто складывать, не заботясь о направлениях сил. А поле С, как мы сейчас увидим, легко восстановить, зная Ψ. Пусть у нас есть точечные массы m 1, m 2,... в точках 1, 2..., и мы хотим знать потенциал Ψ в некоторой произвольной точке Р . Тогда он оказывается простой суммой потенциалов отдельных масс в точке Р :

(14.8)

Этой формулой, представляющей потенциал в виде суммы потенциалов отдельных масс, мы пользовались в предыдущей главе, чтобы вычислить потенциал сферического слоя (мы тогда сложили потенциалы всех поясков, на какие был нарезан слой). Итог расчета показан на фиг. 14.4.

Фиг. 14.4. Потенциал тяготеющего сферического слоя радиусом а.

Потенциал отрицателен, равен нулю на бесконечности, падает как 1/ r , пока r не станет равным а , и затем внутри слоя становится постоянным. Вне слоя потенциал равен — Gm / r ( m — масса слоя), что полностью совпадает с потенциалом точки с массой m , помещенной в центре сферического слоя. Но такое совпадение существует только для точек снаружи слоя, а во внутренних точках потенциал оказывается равным — Gm / a и больше не меняется! А когда потенциал постоянен, то поля нет : если потенциальная энергия не меняется, то сила отсутствует, потому что, когда мы двигаем тело из одной внутренней точки в другую, работа, выполняемая силой, в точности равна нулю. Почему? Да потому, что работа передвижения тела из одной точки в другую равна минус изменению потенциальной энергии (или соответствующий интеграл от поля равен изменению потенциала). Но потенциальная энергия в обеих точках одинакова , значит, ее изменение равно нулю, и поэтому никакой работы при любых движениях внутри сферического слоя не производится. А это возможно лишь тогда, когда внутри слоя нет никаких сил.

В этих рассуждениях кроется ключ к вычислению силы или напряженности поля, когда потенциальная энергия известна.

Пусть потенциальная энергия тела в точке ( x, y, z ) дана, а мы хотим узнать, какая сила действует на него в этой точке. Для этого нужно знать потенциал не только в этой точке, но и в соседних. Почему? Попробуем вычислить x -компоненту силы (если мы это сумеем сделать, то точно таким же способом мы вычислим и у - и z -компоненты, определив тем самым всю силу). Если б мы сдвинули тело на малое расстояние Δ x , то работа, произведенная силой над телом, равнялась бы x -компоненте силы, умноженной на Δ x (если Δ x достаточно мало), и должна была бы быть равна изменению потенциальной энергии при переходе от одной точки к другой:

(14.9)

Мы просто применили формулу ∫ F· d s=-Δ U для очень малых расстояний. Теперь разделим на Δ x и обнаружим, что сила равна

(14.10)

Конечно, это не совсем точно. На самом деле нам нужно перейти в (14.10) к пределу при Δ x , стремящемся к нулю, потому что (14.10) точно соблюдается только для бесконечно малых Δx. Мы узнаем в правой части (14.10) производную U по х и хотим написать - dU / dx . Но U зависит и от х , и от у , и от z, и для такого случая математики придумали другое обозначение, которое рассчитано на то, чтобы напоминать нам, что надо быть очень осторожным, дифференцируя такую функцию. Этот символ напоминает, что только х считается изменяющимся, а у и z — нет. Вместо d они просто пишут «6 навыворот», или ∂. (По-моему, когда начинаешь изучать дифференциальные исчисления, то вообще лучше работать с ∂, а не с d ; d всегда хочется сократить, а вот на ∂ как-то рука не поднимается!) Итак, они пишут ∂ U /∂ x , а иногда в припадке строгости, желая быть очень бдительными, они ставят за ∂ х скобку с маленькими у, z внизу (∂ U /∂ x ) yz , что означает: «Продифференцируй U по х , считая у и z постоянными». Но мы чаще всего не будем отмечать, что осталось постоянным, из контекста это всегда можно понять. Но зато всегда будем писать ∂ вместо d как предупреждение о том, что эта производная берется при постоянных значениях прочих переменных. Ее называют частной производной , т. е. производной, для вычисления которой меняют часть переменных, х .