Ричард Фейнман - Том 2. Электромагнетизм и материя

Теперь предположим, что наша система (имея в виду источники и поля) — конечная, так что, когда мы уходим на большие расстояния, все поля стремятся к нулю. Тогда при интегрировании по всему пространству подстановка B y A z на пределах интеграла дает нуль. У нас остается только В (∂ A z /∂ x ); это, очевидно, есть часть от B y ( ∇× A) y и, значит, от В·( ∇× A). Если вы выпишите остальные пять множителей, то увидите, что (17.47) на самом деле эквивалентно (17.46).

А теперь мы можем заменить ( ∇× A) на Ви получить

(17.48)

Мы выразили энергию в магнитостатическом случае только через магнитное поле. Выражение тесно связано с формулой, которую мы нашли для электростатической энергии:

(17.49)

Эти две энергетические формулы выделены потому, что иногда ими удобнее пользоваться. Обычно есть и более важная причина: оказывается, что для динамических полей (когда Еи Вменяются со временем) оба выражения (17.48) и (17.49) остаются справедливыми, тогда как другие данные нами формулы для электрической и магнитной энергий перестают быть верными — они годятся лишь для статических полей.

Если нам известно магнитное поле Водной катушки, мы можем найти коэффициент самоиндукции, приравнивая выражение для энергии (17.48) и 1/ 2ℒI 2. Посмотрим, что получится в результате для индуктивности длинного соленоида. Раньше мы видели, что магнитное поле в соленоиде однородно и В снаружи равно нулю. Величина поля внутри равна В = nI /ε 0с 2, где n — число витков на единицу длины намотки, а I — ток. Если радиус катушки r, а длина ее L (мы считаем, что L очень велика, чтобы можно было пренебречь краевыми эффектами, т. е. L ≫r), то внутренний объем равен πr 2L. Следовательно, магнитная энергия равна

что равно 1/ 2 ℒI 2. Или

(17.50)

В этой главе мы вернемся к полной системе из четырех уравнений Максвелла, которые мы приняли как отправной пункт в гл. 1 (вып. 5). До сих пор мы изучали уравнения Максвелла небольшими частями, кусочками; теперь пора уже прибавить последнюю часть и соединить их все воедино. Тогда мы будем иметь полное и точное описание электромагнитных полей, которые могут изменяться со временем произвольным образом. Все сказанное в этой главе, если даже оно и будет противоречить чему-то сказанному ранее, правильно, а то, что говорилось ранее в этих случаях, неверно, потому что все высказанное ранее применялось к таким частным случаям, как, скажем, случаи постоянного тока или фиксированных зарядов. Хотя всякий раз, когда мы записывали уравнение, мы весьма старательно указывали ограничения, легко позабыть все эти оговорки и слишком хорошо заучить ошибочные уравнения. Теперь мы можем изложить всю истину, без всяких ограничений (или почти без них).

Все уравнения Максвелла записаны в табл. 18.1 как словесно, так и в математических символах. Тот факт, что слова эквивалентны уравнениям, должен быть сейчас вам уже знаком — вы должны уметь переводить одну форму в другую и обратно.

Таблица 18.1. КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

Первое уравнение — дивергенция Еравна плотности заряда, деленной на ε 0,— правильно всегда. Закон Гаусса справедлив всегда как в динамических, так и в статических полях. Поток Ечерез любую замкнутую поверхность пропорционален заключенному внутри заряду. Третье уравнение — соответствующий общий закон для магнитных полей. Поскольку магнитных зарядов нет, поток В через любую замкнутую поверхность всегда равен нулю. Второе уравнение ∇× E=-∂ B/∂ t — это закон Фарадея, и обсуждался он в последних двух главах. Он тоже верен в общем случае. Но последнее уравнение содержит нечто новое. Раньше мы встречались только с частью его, которая годится для постоянных токов. В этом случае мы говорили, что ротор Вравен j/ε 0c 2, но правильное общее уравнение имеет новый член, который был открыт Максвеллом.

До появления работы Максвелла известные законы электричества и магнетизма были такими же, как те, что мы изучали в гл. 3—14 (вып. 5) и гл. 15—17. В частности, уравнение для магнитного поля постоянных токов было известно только в виде

(18.1)

Максвелл начал с рассмотрения этих известных законов и выразил их в виде дифференциальных уравнений, так же как мы поступили здесь. (Хотя символ ∇еще не был придуман, впервые, в основном благодаря Максвеллу, стала очевидной важность таких комбинаций производных, которые мы сегодня называем ротором и дивергенцией.) Максвелл тогда заметил, что в уравнении (18.1) есть нечто странное. Если взять дивергенцию от этого уравнения, то левая сторона обратится в нуль, потому что дивергенция ротора всегда равна нулю. Таким образом, это уравнение требует, чтобы дивергенция jтакже была равна нулю. Но если дивергенция jравна нулю, то полный ток через любую замкнутую поверхность тоже равен нулю.

Полный ток через замкнутую поверхность равен уменьшению заряда внутри этой поверхности. Он наверняка не может быть всегда равен нулю, так как мы знаем, что заряды могут перемещаться из одного места в другое. Уравнение

(18.2)

фактически есть наше определение j. Это уравнение выражает самый фундаментальный закон — сохранение электрического заряда: любой поток заряда должен поступать из какого-то запаса. Максвелл заметил эту трудность и, чтобы избежать ее, предложил добавить ∂ E/∂ t в правую часть уравнения (18.1); тогда он и получил уравнение IV в табл. 18.1: