Ричард Фейнман - Том 2. Электромагнетизм и материя

(2.31)

но нужно помнить, что операторная алгебра немного отличается от обычной векторной. Надо всегда выдерживать правильный порядок операторов, чтобы их операции имели смысл. Тогда у вас трудностей не возникнет, если вы припомните, что оператор ∇подчиняется тем же условиям, что и производные. То, что вы дифференцируете, должно быть поставлено справа от ∇Порядок здесь существен.

Если помнить о порядке, то сразу ясно, что Т ∇— это оператор, а произведение ∇ Т — это уже не «жаждущий» оператор, его жажда утолена. Это физическая величина, имеющая смысл. Он представляет собой скорость пространственного изменения Т : x -компонента ∇ Т показывает, насколько быстро Т изменяется в x-направлении. А куда направлен вектор ∇ Т ? Мы знаем, что скорость изменения Т в каком-то направлении — это компонента ∇ Т в этом направлении [см. (2.15)]. Отсюда следует, что направление ∇ Т — это то, по которому ∇ Т обладает самой длинной проекцией; иными словами, то, по которому ∇ Т меняется быстрее всего. Направление градиента Т — это направление быстрейшего подъема величины Т .

Можно ли с векторным оператором ∇производить другие алгебраические действия? Попробуем скомбинировать его с вектором. Из двух векторов можно составить скалярное произведение, причем двоякого рода:

Первое выражение пока что ничего не означает — это все еще оператор. Окончательный смысл его зависит от того, на что он будет действовать. А второе произведение — это некое скалярное поле (потому что А· В— всегда скаляр).

Попробуем составить скалярное произведение ∇на известное поле, скажем на h. Распишем покомпонентно

(2.32)

или

(2.33)

Эта сумма инвариантна относительно преобразования координат. Если выбрать другую систему (отмеченную штрихами), то получилось бы [5] Мы рассматриваем h как физическую величину, зависящую от положения в пространстве, а не как заданную математически функцию трех переменных. Когда h «дифференцируется» по х, у и z или по х', у' и z', то математическое выражение для h должно быть предварительно выражено в виде функции соответствующих переменных. Поэтому в новой системе координат мы не отмечаем h штрихом.

(2.34)

а это — то же самое число, которое получилось бы и из (2.33), хотя с виду оно выглядит иначе, т. е.

(2.35)

в любой точке пространства. Итак, ∇· h— это скалярное поле, и оно должно представить собой некоторую физическую величину. Вы должны понимать, что комбинация производных в ∇· hимеет довольно специальный вид. Могут быть и другие комбинации всяческого вида, скажем dh y / dx , которые не являются ни скалярами, ни компонентами векторов.

Скалярная величина ∇·(Вектор) очень широко применяется в физике. Ей присвоили имя «дивергенция», или «расходимость». Например,

(2.36)

Можно было бы, как и для ∇T, описать физический смысл ∇· h. Но мы отложим это до лучших времен.

Посмотрим сначала, что еще можно испечь из векторного оператора ∇. Как насчет векторного произведения? Можно надеяться, что

(2.37)

Компоненты этого вектора можно написать, пользуясь обычным правилом для векторного произведения [см. (2.2)]:

(2.38)

Подобно этому,

(2.39)

и

(2.40)

Комбинацию ∇× hназывают «ротор» (пишут rot h), или (редко) «вихрь h» (пишут curl h).Происхождение этого названия и физический смысл комбинации мы обсудим позже.

В итоге мы получили три сорта комбинаций, куда входит ∇:

Используя эти комбинации, можно пространственные вариации полей записывать в удобном виде, т. е. в виде, не зависящем от той или иной совокупности осей координат.

В качестве примера применения нашего векторного дифференциального оператора ∇ выпишем совокупность векторных уравнений, в которой содержатся те самые законы электромагнетизма, которые мы словесно высказали в гл. 1. Их называют уравнениями Максвелла.

(2.41)

где ρ (ро) — «плотность электрического заряда» (количество заряда в единице объема), а j— «плотность электрического тока» (скорость протекания заряда сквозь единицу площади). Эти четыре уравнения содержат в себе законченную классическую теорию электромагнитного поля. Видите, какой элегантной и простой записи мы добились с помощью наших новых обозначений!

Приведем другой пример векторной записи физического закона. Этот закон не из точных, но во многих металлах и других материалах, проводящих тепло, он проявляется совершенно четко. Известно, что если взять плиту из какого-то материала и нагреть одну ее сторону до температуры Т 2, а другую охладить до Т 1, то тепло потечет от T 2к Т 1(фиг. 2.7, а ). Поток тепла пропорционален площади торцов А и разнице температур. Кроме того, он обратно пропорционален расстоянию между торцами. (Для заданной разницы температур чем тоньше плита, тем мощнее поток тепла.)