Ричард Фейнман - Том 2. Электромагнетизм и материя

Фиг. 3.1. Иллюстрация уравнения (3.1). Вектор ∇ψ вычисляется на линейном элементе ds.

Мы начнем с той интегральной формулы, куда входит градиент. Мысль, которая содержится в ней, очень проста: раз градиент есть быстрота изменения величины поля, то интеграл от этой быстроты даст нам общее изменение поля. Пусть у нас есть скалярное поле ψ( x, у , z). В двух произвольных точках (1) и (2) функция ψ имеет соответственно значения ψ(1) и ψ(2). [Используется такое удобное обозначение: (2) означает точку (x 2, y 2, z 2), а ψ(2) это то же самое, что ψ(x 2, y 2, z 2).] Если Γ (гамма) — произвольная кривая, соединяющая (1) и (2) (фиг. 3.1), то справедлива

(3.1)

Интеграл, стоящий здесь, это криволинейный интеграл от (1) до (2) вдоль кривой Γ от скалярного произведения вектора ∇ψ на другой вектор, d s, являющийся бесконечно малым элементом дуги кривой Γ [направленной от (1) к (2)].

Напомним, что мы понимаем под криволинейным интегралом. Рассмотрим скалярную функцию f(x, y, z) и кривую Γ, соединяющую две точки (1) и (2). Отметим на кривой множество точек и соединим их хордами, как на фиг. 3.2. Длина i-й хорды равна Δs i,-, где i пробегает значения 1, 2, 3,.... Под криволинейным интегралом

подразумевается предел суммы

где f i— значение функции где-то на i-й хорде. Предел — это то, к чему стремится сумма, когда растет число хорд (разумным образом, чтобы даже наибольшее Δs i→0).

В нашей теореме (3.1) интеграл означает то же самое, хоть и выглядит чуть по-иному. Вместо f стоит другой скаляр — составляющая ∇ψ в направлении Δ s. Если обозначить эту составляющую через ( ∇ψ) t, то ясно, что

(3.2)

Интеграл в (3.1) и подразумевает сумму таких членов.

А теперь посмотрим, почему уравнение (3.1) правильно. В гл. 1 мы показали, что составляющая ∇ψ вдоль малого смещения Δ Rравна быстроте изменения ψ в направлении Δ R. Рассмотрим хорду кривой Δs от точки (1) до точки а на фиг. 3.2.

Фиг. 3.2. Криволинейный интеграл есть предел суммы.

По нашему определению

(3.3)

Точно так же мы имеем

(3.4)

где, конечно, ( ∇ψ) 1означает градиент, вычисленный на хорде Δ s 1, а ( ∇ψ) 2— градиент, вычисленный на Δ s 2. Сложив (3.3) и (3.4), получим

(3.5)

Вы видите, что, продолжая прибавлять такие члены, мы получаем в итоге

(3.6)

Левая часть не зависит от того, как выбирать интервалы — лишь бы точки (1) и (2) были теми же самыми, так что справа можно перейти к пределу. Так доказывается уравнение (3.1). Из нашего доказательства видно, что, подобно тому как равенство не зависит и от выбора точек а, b, с ,..., точно так же оно не зависит от выбора самой кривой Γ. Теорема верна для любой кривой, соединяющей точки (1) и (2).

Два слова об обозначениях. Не будет путаницы, если писать для удобства

(3.7)

Тогда наша теорема примет такой вид:

(3.8)

Прежде чем рассматривать следующую интегральную теорему — теорему о дивергенции,— хотелось бы разобраться в одной идее, смысл которой в случае теплового потока легко усваивается. Мы уже определили вектор h, представляющий количество тепла, протекающего сквозь единицу площади в единицу времени. Положим, что внутри тела имеется замкнутая поверхность S , ограничивающая объем V (фиг. 3.3). Нам хочется узнать, сколько тепла вытекает из этого объема . Мы это можем, конечно, определить, рассчитав общий тепловой поток через поверхность S .

Обозначим через da площадь элемента поверхности. Этот символ заменяет двумерный дифференциал. Если, например, элемент окажется в плоскости ху , то

Позже мы будем иметь дело с интегралами по объему, и тогда будет удобно рассматривать элемент объема в виде малого кубика и обозначать его dV , подразумевая, что

Кое-кто пишет и d 2 a вместо da , чтобы напомнить самому себе, что это выражение второй степени; вместо dV пишут также d 3V. Мы будем пользоваться более простыми обозначениями, а вы уж постарайтесь не забывать, что у площадей бывают два измерения, у объемов — три.

Поток тепла через элемент поверхности da равен произведению площади на составляющую h, перпендикулярную к da . Мы уже определяли n— единичный вектор, направленный наружу перпендикулярно к поверхности (см. фиг. 3.3).

Фиг. 3.3. Замкнутая поверхность S, ограничивающая объем V. Единичный вектор n — внешняя нормаль к элементу поверхности da, а h— вектор теплового потопа сквозь элемент поверхности.

Искомая составляющая hравна

(3.9)

и тогда поток тепла сквозь da равен

(3.10)

А весь поток тепла через произвольную поверхность получается суммированием вкладов от всех элементов поверхности. Иными словами, (3.10) интегрируется по всей поверхности