Ричард Фейнман - Том 2. Электромагнетизм и материя

(26.19)

помня при этом, что

а

То, что мы нашли, можно сформулировать так: в природе существуют шесть величин, которые представляют различные стороны чего-то одного. Электрическое и магнитное поля, которые в нашем обычном медленно движущемся мире (где нас не беспокоит конечность скорости света) рассматривались как совершенно отдельные векторы, в четырехмерном пространстве уже не будут ими. Они — часть некоторой новой «штуки».

Наше физическое «поле» на самом деле шестикомпонентный объект F μ v . Вот как обстоит дело в теории относительности. Полученные результаты для F μ v собраны в табл. 26.1.

Таблица 26.1. КОМПОНЕНТЫ F μ v

Вы видите, что мы сделали фактически обобщение векторного произведения. Мы начали с ротора и с того факта, что его свойства преобразования в точности такие же, как свойства преобразования двух векторов — обычного трехмерного вектора Аи оператора градиента, который, как нам известно, ведет себя подобно вектору. Возвратимся на минуту к обычному векторному произведению в трехмерном пространстве, например к моменту количества движения частицы. При движении частицы в плоскости важной характеристикой оказывается комбинация ( xv y — yv x ), а при движении в трехмерном пространстве появляются три подобные величины, которые мы назвали моментом количества движения:

Затем (хотя сейчас вы, может быть, об этом и забыли) мы сотворили в гл. 20 (вып. 2) чудо: эти три величины превратились в компоненты вектора. Чтобы сделать это, мы приняли искусственное соглашение: правило правой руки. Нам просто повезло. И повезло потому, что момент L ij ( i и j равны х, у или z) оказался антисимметричным объектом, т. е.

Из девяти возможных его величин независимы лишь три. И вот оказалось, что при изменении системы координат эти три оператора преобразуются в точности, как компоненты вектора.

То же свойство позволяет записать в виде вектора и элемент поверхности. Элемент поверхности имеет две части, скажем dx и dy , которые можно представить вектором da , ортогональным к поверхности. Но мы не можем сделать этого же для четырех измерений. Что будет нормалью к элементу dxdy ? Куда она направлена — по оси z или по t ?

Короче говоря, для трех измерений оказывается, что комбинацию двух векторов типа L ij , к счастью, снова можно представить в виде вектора, поскольку возникают как раз три члена, которые, выходит, преобразуются подобно компонентам вектора. Для четырех измерений это, очевидно, невозможно, поскольку независимых членов шесть, а шесть величин вы никак не представите в виде четырех.

Однако даже в трехмерном пространстве можно составить такую комбинацию векторов, которую невозможно представить в виде вектора. Предположим, мы взяли какие-то два вектора a=( а х , a y , a z ) и b=( b x , b y , b z ) и составили всевозможные различные комбинации компонент типа a x b x , a x b y и т. д. Всего получается девять возможных величин:

Эти величины можно назвать Т ij .

Если теперь перейти в повернутую систему координат (скажем, относительно оси z), то при этом компоненты аи bизменяются. В новой системе а х должно быть заменено на

а b y— на

Аналогичные вещи происходят и с другими компонентами. Девять компонент изобретенной нами величины T ij., разумеется, тоже изменяются. Например, T xy = а х b у переходит в

или

Каждая компонента T ' ij — это линейная комбинация компонент T ij .

Итак, мы обнаружили, что из векторов можно сделать не только векторное произведение a× b, три компоненты которого преобразуют подобно вектору. Искусственно мы из двух векторов T ij можем сделать «произведение» другого сорта. Девять его компонент преобразуются при вращении по сложным правилам, которые можно выписать. Подобный объект, требующий для своего описания вместо одного индекса два, называется тензором . Мы построили тензор «второго ранга», но так же можно поступить и с тремя векторами и получить тензор третьего ранга, а из четырех векторов — тензор четвертого ранга и т. д. Тензором первого ранга является вектор.

Суть всего этого разговора в том, что наше электромагнитное поле F μ v — тоже тензор второго ранга, так как у него два индекса. Однако это уже тензор в четырехмерном пространстве. Он преобразуется специальным образом, и через минуту мы найдем его. Это просто произведение векторных преобразований. Если у тензора F μvвы переставите индексы, то он изменит свой знак. Это особый вид тензора, и называется он антисимметричным . Иначе говоря, электрическое и магнитное поля являются частью антисимметричного тензора второго ранга в четырехмерном пространстве.

Вот какой мы прошли длинный путь. Помните, мы начали с определения, что такое скорость? А теперь мы уже рассуждаем о «тензоре второго ранга в четырехмерном пространстве».

Теперь нам нужно найти закон преобразования F μ v . Сделать это нетрудно — мороки только много,— шевелить мозгами особенно не нужно, а вот потрудиться все же придется. Единственное, что мы должны найти,— это преобразование Лоренца величины ∇ μ A v — ∇ v A μ. Так как ∇ μ— просто специальный случай вектора, то мы будем работать с общей антисимметричной комбинацией векторов, которую можно назвать G μ v :