Ричард Фейнман - Том 2. Электромагнетизм и материя

2. Разность значений скалярного поля в двух точках равна криволинейному интегралу от касательной составляющей градиента этого скаляра вдоль любой кривой, соединяющей первую точку со второй:

(3.42)

3. Поверхностный интеграл от нормальной составляющей произвольного вектора по замкнутой поверхности равен интегралу от дивергенции вектора по объему, лежащему внутри этой поверхности:

(3.43)

4. Криволинейный интеграл от касательной составляющей произвольного вектора по замкнутому контуру равен поверхностному интегралу от нормальной составляющей ротора этого вектора по произвольной поверхности, ограниченной этим контуром

(3.44)

Начиная изучать уравнения Максвелла, обратите внимание, что в этих лекциях используется рационализированная система единиц, в которой уравнения Максвелла не содержат коэффициентов.

Более привычно вместо ε 0писать ε 0/4π; тогда коэффициент 4π исчезает из знаменателя закона Кулона (4.9), но появляется в правых частях уравнений (4.1) и (4.3). [Улучшение системы единиц всегда похоже на Тришкин кафтан.]

Кроме того, вместо квадрата скорости света вводят новую постоянную μ 0=ε 0/c 2, называют ее (довольно неудачно) магнитной проницаемостью пустоты (так же, как ε 0называют диэлектрической проницаемостью пустоты) и обозначают ε 0 E= D, B=μ 0 H.

Будьте осторожны! Проверяйте систему единиц, когда открываете новую книгу об электричестве!

Повторишь : гл .13 и 14 (вып. 1) «Работа и потенциальная энергия»

Начнем теперь подробное изучение теории электромагнетизма. Она вся (весь электромагнетизм целиком) запрятана в уравнениях Максвелла :

(4.1)

(4.2)

(4.3)

(4.4)

Явления, описываемые этими уравнениями, могут быть очень сложными. Но прежде чем перейти к более сложным, мы начнем со сравнительно простых и сначала научимся обращаться с ними. Самым легким для изучения является случай, который называют статическим . Это случай, когда от времени ничего не зависит, когда все заряды либо намертво закреплены на своих местах, либо если уж движутся, то их ток постоянен (т. е. ρ и j постоянны во времени). В этих условиях в уравнениях Максвелла все члены, являющиеся производными по времени, обращаются в нуль, и уравнения приобретают следующий вид:

(4.5)

(4.6)

(4.7)

(4.8)

Обратите внимание на интересное свойство этой системы четырех уравнений. Она распалась на две части. Электрическое поле Епоявляется только в первой паре уравнений, а магнитное поле В— только во второй. Между собой эти два поля совсем не связаны. Это означает, что коль скоро заряды и токи постоянны, то электричество и магнетизм — явления разные . Нельзя обнаружить никакой зависимости полей Еи Вдруг от друга, пока не возникают изменения в зарядах или токах, скажем, пока конденсатор не начнет заряжаться или магнит двигаться. Только когда возникают сравнительно быстрые изменения, так что временные производные в уравнениях Максвелла достигают заметной величины, Еи Вначинают влиять друг на друга.

Если вы всмотритесь в уравнения статики, то обнаружите, что для изучения математических свойств векторных полей эти два предмета — электростатика и магнитостатика — являются идеальным объектом. Электростатика — это чистый пример векторного поля с нулевым ротором и заданной дивергенцией , а магнитостатика — чистейший пример поля с нулевой дивергенцией и заданным ротором . Более общепринятый (и, быть может, с чьей-то точки зрения более удовлетворительный) путь изложения теории электромагнетизма состоит в том, чтобы начать с электростатики и выучить тем самым все про дивергенцию. Магнитостатику и ротор оставляют на потом. И лишь в конце объединяют и электричество, и магнетизм. Мы же с вами начали с полной теории векторного исчисления. Применим теперь ее к частному случаю электростатики, к полю Е, задаваемому первой парой уравнений.

Начнем с самых простых задач, в которых положения всех зарядов фиксированы. Если бы нам нужно было изучить электростатику только на этом уровне (а этим мы и будем заниматься в ближайших двух главах), то жизнь наша была бы очень проста. Все было бы почти тривиальным и нам понадобился бы, как вы в этом сейчас убедитесь, только закон Кулона да несколько интегрирований. Однако во многих реальных электростатических задачах мы вначале не знаем , где находятся заряды. Мы знаем только, что они в зависимости от свойств вещества распределились как-то и где-то. Положение, которое примут заряды, зависит от поля Е, а оно в свою очередь зависит от расположения зарядов. И тогда все сразу усложняется. Если, например, заряженное тело поднесено к проводнику или к изолятору, то электроны и протоны в проводнике или изоляторе начнут перетекать на новое место. Одна часть плотности заряда ρ в уравнении (4.5) будет нам известна — это тот заряд, который мы подносим; но в ρ войдут и другие части от тех зарядов, которые перетекают. Мы обязаны будем учесть движение всех зарядов. Возникнут довольно тонкие и интересные задачи.