Ричард Фейнман - Том 2. Электромагнетизм и материя

На этом мы закончим довольно подробное изложение наших сегодняшних познаний о диэлектрических свойствах газов, жидкостей и твердых тел.

Вся информация о физическом мире, приобретенная со времени зарождения научного прогресса, поистине огромна, и кажется почти невероятным, чтобы кто-то овладел заметной частью ее. Но фактически физик вполне может постичь общие свойства физического мира, не становясь специалистом в какой-то узкой области. Тому есть три причины. Первая . Существуют великие принципы, применимые к любым явлениям, такие, как закон сохранения энергии и момента количества движения. Глубокое понимание этих принципов позволяет сразу постичь очень многие вещи. Вторая . Оказывается, что многие сложные явления, как, например, сжатие твердых тел, в основном обусловливаются электрическими и квантовомеханическими силами, так что, поняв основные законы электричества и квантовой механики, имеется возможность понять многие явления, возникающие в сложных условиях. Третья . Имеется замечательнейшее совпадение: Уравнения для самых разных физических условий часто имеют в точности одинаковый вид . Использованные символы, конечно, могут быть разными — вместо одной буквы стоит другая, но математическая форма уравнений одна и та же. Это значит, что, изучив одну область, мы сразу получаем множество прямых и точных сведений о решениях уравнений для другой области.

Мы закончили электростатику и скоро перейдем к изучению магнетизма и электродинамики. Но прежде хотелось бы показать, что, изучив электростатику, мы одновременно узнали о многих других явлениях. Мы увидим, что уравнения электростатики фигурируют и в ряде других областей физики. Путем прямого переноса решений (одинаковые математические уравнения должны, конечно, иметь одинаковые решения) можно решать задачи из других областей с той же легкостью (или с таким же трудом), как и в электростатике.

Уравнения электростатики, как мы знаем, такие:

(12.1)

(12.2)

(Мы пишем уравнения электростатики в присутствии диэлектриков, чтобы учесть общий случай.) То же физическое содержание может быть выражено в другой математической форме:

(12.3)

(12.4)

И вот суть дела заключается в том, что существует множество физических проблем, для которых математические уравнения имеют точно такой же вид. Сюда входит потенциал (φ), градиент которого, умноженный на скалярную функцию ( x ), имеет дивергенцию, равную другой скалярной функции (-ρ/ε 0).

Все, что нам известно из электростатики, можно немедленно перенести на другой объект, и наоборот. (Принцип, конечно, работает в обе стороны: если известны какие-то характеристики другого объекта, то можно использовать эти сведения в соответствующей задаче по электростатике.) Мы рассмотрим ряд примеров из разных областей, когда имеются уравнения такого вида.

Ранее мы уже обсуждали (гл. 3, § 4) поток тепла. Вообразите кусок какого-то материала, необязательно однородного (в разных местах может быть разное вещество), в котором температура меняется от точки к точке. Как следствие этих температурных изменений возникает поток тепла, который можно обозначить вектором h. Он представляет собой количество тепловой энергии, которое проходит в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную потоку. Дивергенция hесть скорость ухода тепла из данного места в расчете на единицу объема:

(Мы могли, конечно, записать уравнение в интегральном виде, как мы поступали в электродинамике с законом Гаусса, тогда оно выражало бы тот факт, что поток через поверхность равен скорости изменения тепловой энергии внутри материала. Мы не будем больше переводить уравнения из дифференциальной формы в интегральную и обратно, это делается точно так же, как в электростатике.)

Скорость, с которой тепло поглощается или рождается в разных местах, конечно, зависит от условий задачи. Предположим, например, что источник тепла находится внутри материала (возможно, радиоактивный источник или сопротивление, через которое пропускают ток). Обозначим через s тепловую энергию, производимую этим источником в единице объема за 1 сек . Кроме того, могут возникнуть потери (или, наоборот, дополнительное рождение) тепловой энергии за счет перехода в другие виды внутренней энергии в данном объеме. Если и — внутренняя энергия в единице объема, то — du / dt будет тоже играть роль «источника» тепловой энергии. Итак, имеем

(12.5)

Мы не собираемся здесь обсуждать полное уравнение, величины в котором изменяются со временем, потому что мы проводим аналогию с электростатикой, где ничто не зависит от времени. Мы рассмотрим только задачи с постоянным потоком тепла , в которых постоянные источники создают состояние равновесия. В таких случаях

(12.6)

Нужно иметь, конечно, еще одно уравнение, которое описывает, как поток течет в разных местах. Во многих веществах поток тепла примерно пропорционален скорости изменения температуры с положением: чем больше разность температур, тем больше поток тепла. Мы знаем, что вектор потока тепла пропорционален градиенту температуры. Константа пропорциональности К , зависящая от свойств материала, называется коэффициентом теплопроводности

(12.7)

Если свойства материала меняются от точки к точке, то К = К ( х, у , z) и есть функция положения. [Уравнение (12.7) не столь фундаментально, как (12.5), выражающее сохранение тепловой энергии, потому что оно зависит от характерных свойств вещества.] Подставляя теперь уравнение (12.7) в (12.6), получаем

(12.8)