Ричард Фейнман - Том 2. Электромагнетизм и материя

(12.23)

Для внутренних точек вклад в поле дают только заряды Q ( r ), находящиеся внутри сферы радиусом r; Q ( r )=4πr 3ρ/3, следовательно,

(12.24)

Поле растет линейно с r. Интегрируя Е , получаем φ:

На расстоянии радиуса а φ внешндолжен совпадать с φ внутр, поэтому постоянная должна быть равна ρа 2/2ε 0. (Мы предполагаем, что потенциал φ равен нулю на больших расстояниях от источника, а это для нейтронов будет отвечать обращению N в нуль.) Следовательно,

(12.25)

Теперь мы сразу же найдем плотность нейтронов в нашей диффузионной задаче

(12.26)

и

(12.27)

На фиг. 12.7 представлена зависимость N от r.

Чему же теперь равно отношение плотности в центре к плотности на краю? В центре (r=0) оно пропорционально За 2/2, а на краю ( r = а ) пропорционально 2а 2/2; поэтому отношение плотностей равно 3/2. Однородный источник не дает однородной плотности нейтронов. Как видите, наши познания в электростатике дают хорошую затравку для изучения физики ядерных реакторов.

Диффузия играет большую роль во многих физических обстоятельствах. Движение ионов через жидкость или электронов через полупроводник подчиняется все тому же уравнению. Мы снова и снова приходим к одним и тем же уравнениям.

Рассмотрим теперь пример, по существу, не такой уж хороший, потому что уравнения, которые мы будем использовать, на самом деле не описывают новый объект полностью, а отвечают лишь некоторым идеализированным условиям. Это задача о течении воды . Когда мы разбирали случай натянутой пленки, то наши уравнения представляли приближение, справедливое лишь для малых отклонений . При рассмотрении течения воды мы прибегнем к приближению другого рода; мы должны принять ограничения, которые, вообще говоря, к обычной воде неприменимы. Мы разберем только случай постоянного течения несжимаемой, невязкой, лишенной завихрений жидкости. Потом мы опишем течение, задав ему скорость v(r) как функцию положения r. Если движение постоянно (единственный случай, для которого имеется электростатическая аналогия), vне зависит от времени. Если ρ — плотность жидкости, то ρ v— масса жидкости, проходящая в единицу времени через единичную площадку. Из закона сохранения вещества дивергенция ρ v, вообще говоря, равна изменению со временем массы вещества в единице объема. Мы предположим, что процессы непрерывного рождения или уничтожения вещества отсутствуют. Сохранение вещества требует тогда, чтобы ∇·ρ v=0. (В правой части должно было бы стоять, вообще говоря, —∂ρ/∂ t , но поскольку наша жидкость несжимаема, то ρ меняться не может.) Так как ρ повсюду одинаково, то его можно вынести, и наше уравнение запишется просто

Чудесно! Снова получилась электростатика (без зарядов); уравнение совсем похоже на ∇· E=0. Ну не совсем! В электростатике не просто ∇· E=0. Есть два уравнения. Одно уравнение еще не дает нам всего; нужно дополнительное уравнение. Чтобы получилось совпадение с электростатикой, у нас rot от vдолжен был бы равняться нулю. Но для настоящих жидкостей это вообще не так. В большинстве их обычно возникают вихри. Следовательно, мы ограничиваемся случаем, когда циркуляция жидкости отсутствует. Такое течение часто называют безвихревым . Как бы то ни было, принимая наши предположения, можно представить себе течение жидкости, аналогичное электростатике. Итак, мы берем

(12.28)

и

(12.29)

Мы хотим подчеркнуть, что условия, при которых течение жидкости подчиняется этим уравнениям, встречаются весьма нечасто, но все-таки бывают. Это должны быть случаи, когда поверхностным натяжением, сжимаемостью и вязкостью можно пренебречь и когда течение можно считать безвихревым. Эти условия выполняются столь редко для обычной воды, что математик Джон фон Нейман сказал по поводу тех, кто анализирует уравнения (12.28) и (12.29), что они изучают «сухую воду»! (Мы возвратимся к задаче о течении жидкости более подробно в вып. 7, гл. 40 и 41.)

Поскольку ∇× v=0, то скорость «сухой воды» можно написать в виде градиента от некоторого потенциала

(12.30)

Каков физический смысл ψ? Особо полезного смысла нет. Скорость можно записать в виде градиента потенциала просто потому, что течение безвихревое. По аналогии с электростатикой ψ называется потенциалом скоростей , но он не связан с потенциальной энергией так, как это получается для φ. Поскольку дивергенция v равна нулю, то

(12.31)

Потенциал скоростей ψ подчиняется тому же дифференциальному уравнению, что и электростатический потенциал в пустом пространстве (ρ=0).

Давайте выберем какую-нибудь задачу о безвихревом течении и посмотрим, сможем ли мы решить ее изученными методами. Рассмотрим задачу о шаре, падающем в жидкости. Если он движется слишком медленно, то силы вязкости, которыми мы пренебрегали, будут существенны. Если он движется слишком быстро, то следом за ним будут идти маленькие вихри (турбулентность) и возникнет некоторая циркуляция воды. Но если шар движется и не чересчур быстро, и не чересчур медленно, то течение воды будет более или менее отвечать нашим предположениям, и мы сможем описать движение воды нашими простыми уравнениями.

Удобно описывать процесс в системе координат, скрепленной с шаром . В этой системе координат мы задаем вопрос: как течет вода около неподвижного шара, если на больших расстояниях течение однородно? Иначе говоря, если вдали от шара течение всюду одинаково? Течение вблизи шара будет иметь вид, показанный линиями потока на фиг. 12.8.