Ричард Фейнман - Том 3. Квантовая механика

Два последних слагаемых в правой части представляют такой процесс, когда электрон, находившийся возле атома ( n +1) или возле атома ( n -1), окажется возле атома ( n ).

Мы нашли, что (14.7) имеет решения, отвечающие состояниям определенной энергии. Мы записывали их в виде

(14.8)

У состояний с низкой энергией длины волн велики ( k мало) и энергия связана с k формулой

(14.9)

или, если выбрать нуль энергии так, чтобы было ( Е 0-2 А )=0, то энергия дается формулой (14.1).

Посмотрим, что бы произошло, если бы мы позволили расстоянию b между атомами решетки стремиться к нулю, сохраняя волновое число постоянным. Если бы больше ничего не случилось, то последнее слагаемое в (14.9) обратилось бы просто в нуль, и никакой физики бы не осталось. Но предположим, что А и b вместе изменяются так, что при стремлении b к нулю произведение Ab 2поддерживается постоянным [54] Представьте себе, что по мере сближения точек х n амплитуда А прыжков из х n=1 в х n возрастает. : с помощью (14.2) мы запишем Аb 2в виде постоянной ℏ 2/2 m эфф . При этом (14.9) не изменится, но что произойдет с дифференциальным уравнением (14.7)?

Перепишем сперва (14.7) так:

(14.10)

При нашем выборе Е 0первое слагаемое выпадет. Далее, представим себе непрерывную функцию С ( х ), которая плавно проходит через значения С ( х n ) в точках х n . Когда расстояние b стремится к нулю, точки х n сближаются все теснее и теснее и [если С ( х ) меняется достаточно плавно] величина в скобках попросту пропорциональна второй производной С ( х ). Можно написать (в чем легко убедиться, разложив в ряд Тэйлора каждый член) равенство

(14.11)

Тогда в пределе, когда b стремится к нулю, а b 2 A поддерживается равным ℏ 2/2 m эфф , уравнение (14.7) переходит в

(14.12)

Перед нами уравнение, утверждающее, что скорость изменения С ( х ) — амплитуды того, что электрон будет обнаружен в х — зависит от амплитуды того, что электрон будет обнаружен в близлежащих точках так, что эта скорость пропорциональна второй производной амплитуды по координате.

Правильное квантовомеханическое уравнение движения электрона в пустом пространстве впервые было открыто Шредингером. При движении по прямой оно имеет вид (14.12); надо только m эффзаменить на m — массу электрона в пустом пространстве. При движении по прямой в пустом пространстве уравнение Шредингера имеет вид

(14.13)

Мы не хотим, чтобы вы считали, будто мы сейчас вывели уравнение Шредингера; мы только показываем вам один из способов, каким его можно осмыслить. Когда Шредингер впервые написал его, он привел какой-то вывод, опиравшийся на эвристические доводы и блестящие интуитивные догадки. Некоторые из его доводов были даже неверны, но это не имело значения; важно то, что окончательное уравнение дает правильное описание природы. И цель нашего обсуждения состоит просто в том, чтобы показать вам, что правильное фундаментальное квантовомеханическое уравнение (14.13) имеет ту же самую форму, какая получается в предельном случае электрона, движущегося вдоль цепочки атомов. Это значит, что можно считать, что дифференциальное уравнение (14.13) описывает диффузию амплитуды вероятности от точки к точке вдоль прямой. Иначе говоря, если электрон имеет некоторую амплитуду того, что он будет в одной точке, то чуть позже у него появится амплитуда того, что он будет в близлежащих точках. Уравнение действительно напоминает уравнения диффузии, которыми мы пользовались в начале курса. Но есть и одно важное отличие: мнимый коэффициент перед производной по времени приводит к поведению, в корне отличному от обычной диффузии (например, от диффузии газа, распространяющегося по длинной трубе). Обычная диффузия приводит к действительным экспоненциальным решениям, а решения (14.13) суть комплексные волны.

Чтобы получить некоторое представление о том, как теперь все будет выглядеть, вернемся к самому началу и изучим проблему описания движения электрона по прямой, не рассматривая состояний, связанных с атомами решетки. Мы хотим возвратиться к самому началу и посмотреть, какими представлениями нужно пользоваться, чтобы описать движение свободной частицы в пространстве. Раз нас интересует поведение частицы вдоль континуума точек, то придется иметь дело с бесконечным множеством возможных состояний и, как вы увидите, идеи, которые были развиты для конечного числа состояний, потребуют некоторых технических видоизменений.

Начнем с того, что вектором состояния | х > обозначим состояние, в котором частица расположена в точности в точке с координатой х . Для каждого значения х вдоль прямой — для 1,73, для 9,67, для 10,00 и т. д.— имеется соответствующее состояние. Выберем эти состояния | х > в качестве базисных. Если это сделать для всех точек х прямой, то получится полная совокупность состояний для движения в одном измерении. Теперь положим, что имеется состояние другого рода, скажем |ψ>, в котором электрон как-то распределен вдоль прямой. Один из способов описать это состояние — задать все амплитуды того, что электрон будет также найден в каждом из базисных состояний | x >. Надо задать бесконечную совокупность амплитуд, по одной для каждого х . Запишем их в виде < x |ψ>. Каждая из этих амплитуд — комплексное число, и поскольку для каждого значения х существует одно такое число, амплитуда < x |ψ> является в действительности просто функцией х . Запишем ее также в виде С ( х ):

(14.14)

Мы уже рассматривали такие амплитуды, которые непрерывным образом меняются с координатами, говоря в гл. 5 (вып. 8) об изменениях амплитуд во времени. Мы, например, показали там, что следует ожидать, что частица с определенным импульсом будет обладать особым типом изменения своей амплитуды во времени. Если частица имеет определенный импульс р и соответствующую ему определенную энергию Е , то амплитуда того, что она будет обнаружена в любом заданном месте x , такова: