Ричард Фейнман - Том 3. Квантовая механика

Что можно сказать об импульсе этого электрона? Можно спросить, какова вероятность того, что импульс этого электрона равен р ? Начнем с расчета амплитуды того, что состояние |ψ> присутствует в другом состоянии |имп. p >, которое мы определим как состояние с определенным импульсом р . Эту амплитуду можно найти, применяя наше основное уравнение для разложения амплитуд (14.20). В терминах состояний |имп. p >

А вероятность того, что у электрона будет обнаружен импульс р , выразится квадратом абсолютной величины этой амплитуды. Но опять возникает тот же вопрос насчет нормирования. Ведь вообще можно говорить только о вероятности обнаружить электрон с импульсом в узкой области dp близ значения р . Вероятность того, что импульс в точности равен р , равна нулю (разве что состояние |ψ> окажется состоянием с определенным импульсом). Только вероятность обнаружить импульс в интервале dp возле значения р может оказаться конечной. Нормировку можно делать по-разному. Мы выберем тот способ нормировки, который нам кажется особенно удобным, хотя вам сейчас это может так и не показаться.

Примем такую нормировку, чтобы вероятность была связана с амплитудой равенством

(14.22)

Это определение дает нам нормировку амплитуды <���имп. р | x >. Амплитуда <���имп. р | х >, естественно, комплексно сопряжена с амплитудой < х |имп. р >, а последнюю мы писали в (14.15). При нашей нормировке оказывается, что коэффициент пропорциональности перед экспонентой как раз равен единице, т. е.

(14.23)

Тогда (14.21) превращается в

(14.24)

Вместе с (14.22) это уравнение позволяет находить распределение импульсов для любого состояния |ψ>.

Возьмем частный пример: скажем, когда электрон расположен в некоторой области вокруг х =0. Пусть мы взяли волновую функцию вида

(14.25)

Распределение вероятности иметь то или иное значение х для такой волновой функции дается ее квадратом

(14.26)

Функция плотности вероятности Р ( х ) — это кривая Гаусса, показанная на фиг. 14.1.

фиг. 14.1. Плотность вероятности для волновой функции (14.24).

Большая часть вероятности сосредоточена между х =+σ и х =-σ. Мы говорим, что «полуширина» кривой есть σ. (Точнее, σ равняется средней квадратичной координате х , если разброс координат соответствует этому распределению.) Коэффициент К следовало бы выбрать так, чтобы плотность вероятности Р ( х ) не просто была пропорциональна вероятности (на единицу длины x ) обнаружить электрон, но имела бы такой масштаб, чтобы Р ( х )Δ x равнялось вероятности обнаружить электрон в Δ x вблизи х . Коэффициент К , при котором так и получается, можно найти из требования -∞∫ +∞ Р ( х ) dx =1, потому что вероятность обнаружить электрон где попало равна единице. Мы находим, что К =(2πσ 2) -1/4. [56] Был использован тот факт, что -∞ ∫ +∞ exp (- t 2 ) dt =√π; см. вып. 1

Теперь найдем распределение по импульсу. Пусть φ( p ) есть амплитуда того, что импульс электрона окажется равным р :

(14.27)

Подстановка (14.25) в (14.24) дает

(14.28)

что можно также переписать в форме

(14.29)

Сделаем теперь замену u = x +2 ip σ 2/ ℏ ; интеграл обратится в

(14.30)

Математикам, вероятно, не понравился бы такой путь расчета, однако итог, несмотря на это, верен:

(14.31)

Мы пришли к интересному результату — распределение амплитуд по р имеет в точности ту же математическую форму, как и распределение амплитуд по х , только ширина кривой Гаусса иная. Можно записать это так:

(14.32)

где полуширина η распределения по р связана с полушириной σ распределения по х формулой

(14.33)

Наш результат утверждает: если сделать распределение по х очень узким, взяв σ малым, то η станет большим и распределение по р сильно расползется. Или наоборот, если распределение по р узко, то оно соответствует широкому распределению по х . Мы можем, если угодно, рассматривать η и σ как некую меру неопределенности локализации импульса и координаты электрона в изучаемом нами состоянии. Если обозначить их соответственно Δ р и Δ x , то (14.33) обратится в

(14.34)

Интересно вот что: можно доказать, что при всяком ином виде распределения по х или по р произведение Δ p Δ x не может стать меньше, чем у нас получилось. Гауссово распределение дает наименьшее возможное значение произведения средних квадратичных. В общем случае

(14.35)

Это количественная формулировка принципа неопределенности Гейзенберга, который качественно нам уже давно известен. Мы обычно делали приближенное утверждение: наименьшее значение произведения Δ p Δ x — это число порядка ℏ .