Ричард Фейнман - Том 3. Квантовая механика

(14.15)

Это уравнение выражает важный общий принцип квантовой механики, который связывает базисные состояния, соответствующие различным положениям в пространстве, с другой системой базисных состояний — со всеми состояниями определенного импульса. В некоторых задачах состояния определенного импульса удобнее, чем состояния с определенным х . И любая другая система базисных состояний также годится для описания квантовомеханической ситуации. К связи между ними мы еще вернемся. А сейчас мы по-прежнему будем придерживаться описания на языке состояний | х >.

Прежде чем продолжать, прибегнем к небольшой замене обозначений, которая, надеемся, вас не слишком смутит. Форма функции С ( х ), определенной уравнением (14.14), естественно, будет зависеть от рассматриваемого состояния |ψ>. Это нужно как-то отметить. Можно, например, указать, о какой функции С ( х ) идет речь, поставив снизу индекс, скажем С ψ( х ). Хотя такое обозначение вполне подошло бы, но оно все же чуточку громоздко и в большинстве книг вы его не встретите. Обычно просто убирают букву С и пользуются символом ψ для определения функции

(14.16)

Поскольку это обозначение принято во всем мире, неплохо было бы и вам привыкнуть к нему и не пугаться, встретив его где-нибудь. Надо только помнить, что ψ теперь будет использоваться двояким образом. В (14.14) ψ обозначает метку, которой мы отметили заданное физическое состояние электрона. А в (14.16) слева символ ψ применяется для определения математической функции от х , равной амплитуде, связываемой с каждой точкой х прямой. Надеемся, что это не слишком смутит вас, когда вы привыкнете к самой идее. Кстати, функцию ψ( х ) обычно именуют «волновой функцией», потому что она очень часто имеет форму комплексной волны своих переменных.

Раз мы определили ψ( х ) как амплитуду того, что электрон в состоянии ψ обнаружится в точке х , то хотелось бы интерпретировать квадрат абсолютной величины ψ как вероятность обнаружить электрон в точке х . Но, к сожалению, вероятность обнаружить электрон в точности в каждой данной точке равна нулю. Электрон в общем случае размазывается по какому-то участку прямой, и поскольку точек на каждом участке бесконечно много, то вероятность оказаться в любой из них не может быть конечным числом. Вероятность обнаружить электрон мы можем описать только на языке распределения вероятностей [55] О распределениях вероятностей шла речь в гл. 6, § 4 (вып. 1). , которое дает относительную вероятность обнаружить электрон в различных неточно указанных местах прямой. Пусть Вер. ( х , Δ х ) обозначает вероятность обнаружить электрон в узком интервале Δ х возле точки х . Если мы в каждой физической ситуации будем пользоваться достаточно мелким масштабом, то вероятность будет от точки к точке меняться плавно, и вероятность обнаружить электрон в произвольном конечном маленьком отрезке прямой Δ х будет пропорциональна Δ х . И можно так изменить наши определения, чтобы это было учтено. Можно считать, что амплитуда < x |ψ> представляет своего рода «плотность амплитуд» для всех базисных состояний | х > в узком интервале х . Поскольку вероятность обнаружить электрон в узком интервале Δ х вблизи х должна быть пропорциональна длине интервала Δ х , мы выберем такое определение < х |ψ>, чтобы соблюдалось следующее условие:

Амплитуда < x |ψ> поэтому пропорциональна амплитуде того, что электрон в состоянии ψ будет обнаружен в базисном состоянии х , а коэффициент пропорциональности выбран так, что квадрат абсолютной величины амплитуды < x |ψ> дает плотность вероятности обнаружить электрон в любом узком интервале. Можно писать и так:

(14.17)

Теперь надо изменить некоторые наши прежние уравнения, чтобы согласовать их с этим новым определением амплитуды вероятности. Пусть имеется электрон в состоянии |ψ>, а мы хотим знать амплитуду того, что он будет обнаружен в другом состоянии |φ>, которое может соответствовать другим условиям размазанности электрона. Когда речь шла о конечной системе дискретных состояний, мы пользовались уравнением (14.5). До изменения нашего определения амплитуд мы должны были писать

(14.18)

А теперь если обе эти амплитуды нормированы так, как описано выше, то сумма по всем состояниям из узкого интервала х будет эквивалентна умножению на Δ x , а сумма по всем значениям х превратится просто в интеграл. При наших измененных определениях правильная формула будет такой:

(14.19)

Амплитуда < x |ψ> — это то, что мы теперь называем ψ( х ); точно так же амплитуду < x |ψ> мы обозначим φ( х ). Вспоминая, что <���φ| x > комплексно сопряжена с < x |φ>, мы можем (14.18) переписать в виде

(14.20)

При наших новых определениях все формулы останутся прежними, если только всюду знак суммы заменить интегрированием по х .

К тому, что было сказано, нужно сделать одну оговорку. Любая подходящая система базисных состояний должна быть полной, если хотят, чтобы она сполна отражала все, что происходит. Для одномерного движения электрона в действительности недостаточно указать только базисные состояния | x >, потому что в каждом из этих состояний спин электрона может быть направлен вверх или вниз. Один из способов получить полную систему — взять две совокупности состояний по х : одну для спина вверх, другую для спина вниз. Мы, впрочем, пока не будем входить в такие подробности.

Пусть у нас имеется электрон в состоянии |ψ>, описываемом амплитудой вероятности < х |ψ>=ψ( х ). Мы знаем, что ψ( х ) обозначает состояние, в котором электрон размазан по прямой по какому-то закону, так что вероятность обнаружить его в узком интервале dx близ точки х попросту равна