Ричард Фейнман - Том 3. Квантовая механика

Теперь мы вернемся к обсуждению тех изменений в наших основных уравнениях, которые необходимо сделать для работы с континуумом базисных состояний. Когда имеется конечное число дискретных состояний, то фундаментальное условие, которому должна удовлетворять система базисных состояний, имеет вид

(14.36)

Если частица пребывает в одном базисном состоянии, то амплитуда пребывания в другом базисном состоянии равна нулю. С помощью подходящей нормировки можно так определить амплитуду j >, чтобы она была равна единице. Оба эти условия содержатся в (14.36). Теперь мы хотим понять, как надо видоизменить это соотношение, когда пользуются базисными состояниями частицы на прямой. Если известно, что частица пребывает в одном из базисных состояний | х >, то какова амплитуда того, что она пребывает в другом базисном состоянии |x'>? Если х и х ' — две разные точки прямой, то амплитуда < x | х '>, конечно, есть нуль, что согласуется с (14.36). Но когда х и х ' равны, то амплитуда < x | х ' > не будет равна единице из-за той же старой проблемы нормировки. Чтобы увидеть, как надо все подправить, вернемся к (14.19) и применим это уравнение к частному случаю, когда состояние |φ> — просто-напросто базисное состояние | х '>. Тогда получится

(14.37)

Далее, амплитуда — это как раз то, что мы назвали функцией ψ( х ). Подобно этому и амплитуда < x '|ψ>, поскольку она относится к тому же состоянию ψ, является той же функцией переменной х ', а именно ψ( х '). Поэтому (14.37) можно переписать так:

(14.38)

Уравнение должно выполняться для любого состояния ψ и, стало быть, для любой функции ψ( х ). Это требование обязано полностью определить природу амплитуды < x | х '>, которая, конечно, есть попросту функция, зависящая от х и х '.

Наша задача теперь состоит в том, чтобы отыскать функцию f ( х, х '), которая после умножения на ψ( х ) и интегрирования по всем х даст как раз величину ψ( х '). Но оказывается, что не существует математической функции, которая это умеет делать! По крайней мере не существует ничего похожего на то, что мы обычно имеем в виду под словом «функция».

Выберем какое-нибудь значение х ', например 0, и определим амплитуду <0| x > как некую функцию х , скажем f ( х ). Тогда (14.38) обратится в

(14.39)

Какого же вида функция f ( х ) могла бы удовлетворить такому уравнению? Раз интеграл не должен зависеть от того, какие значения принимает ψ( х ) при х , отличных от нуля, то ясно, что f ( х ) должна быть равна нулю для всех значений х , кроме нуля. Но если f ( х ) всюду равна нулю, то интеграл будет тоже равен нулю, и уравнение (14.39) не удастся удовлетворить. Возникает невозможная ситуация: нам нужно, чтобы функция была нулем всюду, кроме одной точки, и давала все же конечный интеграл. Что ж, раз мы не в состоянии сыскать функцию, которая так поступает, то простейший выход — просто сказать , что функция f ( х ) определяется уравнением (14.39). И именно f ( х ) — такая функция, которая делает (14.39) правильным. Функция, которая умеет это делать, впервые была изобретена Дираком и носит его имя. Мы обозначаем ее δ( х ). Все, что о ней утверждается — это что функция δ( х ) обладает странным свойством: если ее подставить вместо f ( х ) в (14.39), то интеграл выберет то значение, которое ψ( х ) принимает при х =0; и поскольку интеграл не должен зависеть от ψ( х ) при х , отличных от нуля, то функция δ( х ) должна быть нулем всюду, кроме х =0. Словом, мы пишем

(14.40)

где δ( х ) определяется соотношением

(14.41)

Посмотрите, что выйдет, если вместо ψ в (14.41) поставить частную функцию «1». Тогда получится

(14.42)

Иначе говоря, функция δ( х ) обладает тем свойством, что всюду, кроме х =0, она равна нулю, но интеграл от нее конечен и равен единице. Приходится вообразить, что функция δ( х ) обладает в одной точке такой фантастической бесконечностью, что полная площадь оказывается равной единице.

Как представить себе, на что похожа δ-функция Дирака? Один из способов — вообразить последовательность прямоугольников (или другую, какую хотите функцию с пиком), которая становится все уже и уже и все выше и выше, сохраняя все время единичную площадь, как показано на фиг. 14.2.

Фиг. 14.2. Последовательность функций, ограничивающих единичную площадь, вид которых все сильнее и сильнее напоминает δ-функцию.

Интеграл от этой функции от -∞ до +∞ всегда равен единице. Если вы умножите ее на произвольную функцию ψ( х ) и проинтегрируете произведение, то получите нечто, приближенно совпадающее со значением функции при х =0, причем приближение становится все лучше и лучше, по мере того как прямоугольники становятся уже и уже. Если хотите, можете представлять δ-функцию посредством такого рода предельного процесса. Но единственно здесь важно то, что δ-функция определена так, что (14.41) справедливо для каждой волновой функции ψ( х ). Это однозначно определяет δ-функцию. Ее свойства тогда получаются такими, как было сказано.

Заменим аргумент δ-функции с х на х - х ', и соотношения обратятся в δ( х - x ')=0,

(14.43)

Если в (14.38) вместо амплитуды < x | х '> подставить δ( x - х '), то это уравнение будет выполнено. В итоге получаем, что для наших базисных состояний с координатой х условие, соответствующее формуле (14.36), имеет вид

(14.44)