Ричард Фейнман - Том 3. Квантовая механика

Теперь, чтобы найти B r', остается немного: лишь пробиться через алгебру.

Сравнивая (16.67) с (16.65) и вспоминая, что r '+ s '= r + s , мы видим, что B r '— это просто коэффициент при a r ' b s 'в выражении

(16.70)

Осталась лишь нудная работа разложить скобки по биному Ньютона и собрать члены с данными степенями а и b . Если вы все это проделаете, то увидите, что коэффициент при а r ' b s 'в (16.70) имеет вид

(16.71)

Сумма берется по всем целым k , при которых аргументы факториалов больше или в крайнем случае равны нулю. Это выражение и есть искомый матричный элемент.

В конце надо вернуться к нашим первоначальным обозначениям j, m и m ', пользуясь формулами

Проделав эти подстановки, получим уравнение (16.34) из § 4.

В § 1 мы рассмотрели испускание света атомом, который переходит из возбужденного состояния со спином 1 в основное состояние со спином 0. Если спин возбужденного состояния направлен вверх ( m =+1), то атом может излучить вверх вдоль оси + z правый фотон или вдоль оси -z левый. Обозначим эти два состояния фотона | R вв> и | L вн>. Ни одно из них не обладает определенной четностью. Если оператор четности обозначить ^ P , то ^ P | R вв >=| L вн > и ^ P | L вн >=| R вв >.

Что же тогда будет с нашим прежним доказательством, что атом в состоянии с определенной энергией должен иметь определенную четность, и с нашим утверждением, что четность в атомных процессах сохраняется? Разве не должно конечное состояние в этой задаче (состояние после излучения фотона) иметь определенную четность? Да, должно , если только мы рассмотрим полное конечное состояние, в которое входят амплитуды излучения фотонов под всевозможными углами. А в § 1 мы рассматривали только часть полного конечного состояния.

Если вы хотите, можно рассмотреть только конечные состояния, у которых действительно определенная четность. Например, рассмотрим конечное состояние |ψ k>, у которого есть некоторая амплитуда α оказаться правым фотоном, движущимся вдоль оси +z, и некоторая амплитуда β оказаться левым фотоном, движущимся вдоль оси -z. Можно написать

(16.72)

Оператор четности, действуя на это состояние, дает

(16.73)

Это состояние совпадает с ±|ψ к> либо при β=α, либо при β=-α. Так что конечное состояние с положительной четностью таково:

(16.74)

а состояние с отрицательной четностью

(16.75)

Далее, мы хотим рассмотреть распад возбужденного состояния с отрицательной четностью на основное состояние с положительной четностью и на фотон. Если четность должна сохраниться, то конечное состояние фотона должно иметь отрицательную четность. Оно обязано быть состоянием (16.75). Если амплитуда того, что будет обнаружено | R вв>, есть α, то амплитуда того, что будет обнаружено |L вн >, есть -α.

Теперь обратите внимание на то, что получается, если мы проводим поворот на 180° вокруг оси у . Начальное возбужденное состояние атома становится состоянием с m =-1 (согласно табл. 15.2, знак не меняется). А поворот конечного состояния дает

(16.76)

Сравнивая это с (16.75), мы увидим, что при выбранной нами четности конечного состояния амплитуда того, что при начальном состоянии с m =-1 будет получен левый фотон, идущий в направлении +z, равна со знаком минус амплитуде того, что при начальном состоянии с m =+1 будет получен правый фотон, идущий в направлении - z . Это согласуется с результатами, полученными в § 1.

Самым замечательным успехом в истории квантовой механики было объяснение всех деталей спектров простейших атомов, а также периодичностей, обнаруженных в таблице химических элементов. В этой главе в нашем курсе квантовой механики мы наконец-то подойдем к этому важнейшему достижению и расскажем об объяснении спектра атомов водорода. Кроме того, здесь мы расскажем и о качественном объяснении таинственных свойств химических элементов. Для этого мы подробно изучим поведение электрона в атоме водорода: в первую очередь мы рассчитаем его распределения в пространстве, следуя тем представлениям, которые были развиты в гл. 14.

Для полного описания атома водорода следовало бы учесть движения обеих частиц — как протона, так и электрона. В квантовой механике в этой задаче следуют классической идее об описании движения каждой из частиц по отношению к их центру тяжести. Однако мы не будем этого делать. Мы просто используем приближение, в котором протон считается очень тяжелым, настолько тяжелым, что он как бы закреплен в центре атома.

Мы сделаем еще и другое приближение: забудем, что у электрона имеется спин и что его надлежит описывать законами релятивистской механики. Это потребует внесения небольших поправок в наши выкладки, поскольку мы будем пользоваться нерелятивистским уравнением Шредингера и пренебрежем магнитными эффектами. Небольшие магнитные эффекты появляются из-за того, что протон с точки зрения электрона есть циркулирующий по кругу заряд, который создает магнитное поле. В этом поле энергия электрона будет различна, смотря по тому, направлен ли его спин вверх или вниз по полю. Энергия атома должна немного сдвинуться относительно той величины, которую мы вычислим. Но мы пренебрежем этим слабым сдвигом энергии, т. е. вообразим, что электрон в точности подобен волчку, движущемуся в пространстве по кругу и сохраняющему все время одинаковое направление спина. Поскольку речь будет идти о свободном атоме в пространстве, полный момент количества движения будет сохраняться. В нашем приближении будет считаться, что момент количества движения, вызываемый спином электрона, остается неизменным, так что оставшийся момент количества движения атома (то, что обычно называют «орбитальным» моментом количества движения) тоже не будет меняться. В очень хорошем приближении можно считать, что электрон движется в атоме водорода как частица без спина — его орбитальный момент количества движения постоянен.