Ричард Фейнман - Том 3. Квантовая механика

(16.55)

а это можно переписать так:

(16.56)

Посмотрите теперь на выражение в первых фигурных скобках и подумайте, что получается при объединении е и р . Вместе они образуют состояние с нулевым спином (см. нижнюю строку в табл. 16.3) и не дают вклада в момент количества движения. Остался только нейтрон, значит, вся первая фигурная скобка (16.56) будет вести себя при поворотах как нейтрон, а именно как состояние с J = 1/ 2, M =+ 1/ 2.

Повторяя те же рассуждения, убедимся, что во вторых фигурных скобках (16.56) электрон и нейтрон объединяются, чтобы образовать нулевой момент количества движения, и остается только вклад протона — с m p =+ 1/ 2. Скобка опять ведет себя как объект с J =+ 1/ 2, М =+ 1/ 2. Значит, и все выражение (16.56) преобразуется как | J =+ 1/ 2, М =+ 1/ 2>, чего мы и хотели. Состояние М =- 1/ 2, отвечающее формуле (16.56), можно расписать так (заменив везде, где нужно, + 1/ 2на - 1/ 2):

(16.57)

Вы легко проверите, что это совпадает со второй строчкой в (16.54), как и полагается, если каждая скобка представляет собой одно из двух состояний системы со спином 1/ 2. Значит, наши результаты подтвердились. Дейтрон и электрон могут существовать в шести спиновых состояниях, четыре из которых ведут себя как состояния объекта со спином 3/ 2(табл. 16.5), а два — как объект со спином 1/ 2(16.54).

Результаты табл. 16.5 и уравнения (16.54) мы получили, воспользовавшись тем, что дейтрон состоит из нейтрона и протона. Правильность уравнений не зависит от этого особого обстоятельства. Для любого объекта со спином 1, объединяемого с объектом со спином 1/ 2, законы объединения (и коэффициенты) одни и те же. Совокупность уравнений в табл. 16.5 означает, что если система координат поворачивается, скажем, вокруг оси у , так что состояния частицы со спином 1/ 2и частицы со спином 1 изменяются согласно табл. 16.1 и 16.2, то линейные комбинации по правую сторону знака равенства будут изменяться так, как это свойственно объекту со спином 3/ 2. При таком же повороте состояния (16.54) будут меняться как состояния объекта со спином 1/ 2. Результаты зависят только от свойств относительно поворотов (т. е. от спиновых состояний) двух исходных частиц, но отнюдь не от происхождения их моментов количества движения. Мы этим происхождением воспользовались лишь для вывода формул, выбрав частный случай, в котором одна из составных частей сама состоит из двух частиц со спином 1/ 2в симметричном состоянии. Все наши результаты мы свели в табл. 16.6, изменив индексы е и d на а и b , чтобы подчеркнуть их общность.

Таблица 16.6. ОБЪЕДИНЕНИЕ ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 1/ 2( j a= 1/ 2) С ЧАСТИЦЕЙ СО СПИНОМ 1 ( j b =1)

Поставим теперь себе общую задачу найти состояния, которые можно образовать, объединяя два объекта с произвольными спинами. Скажем, у одного спин j a (так что его z -компонента m а пробегает 2 j а +1 значений от - j a до + j a , а у другого j b (с z-компонентой m b , пробегающей значения от - j b до+ j b ).

Объединенные состояния суть | а, m а ; b, m b >, их всего (2 j a +1)(2 j b +1). Какие же состояния с полным спином J мы обнаружим?

Полная z-компонента М момента количества движения равняется m а + m b , и все состояния можно перечислить, опираясь на величину М [как в (16.42)]. Наибольшее М является единственным; оно отвечает значениям m a = j a и m b = j b и равно попросту j a + j b . Это означает, что наибольший полный спин J также равен сумме j а + j b :

Следующему значению М , меньшему чем М максна единицу, будут соответствовать два состояния (либо m а , либо m b меньше своих максимальных значений на единицу). Из них должно быть образовано одно состояние, принадлежащее совокупности с J = j a + j b , и останется еще одно, которое будет принадлежать новой совокупности с J = j a + j b -1. Следующее значение М (третье сверху) можно составить тремя путями (из m a = j a — 2, m b = j b , из m a = j a -1, m b = j b -1 и из m a = j a , m b = j b -2). Два из них принадлежат к уже начавшим составляться группам; третье говорит нам, что надо включить в рассмотрение и состояния с J = j a + j b -2. Такие рассуждения будут продолжаться до тех пор, пока уже нельзя будет, меняя то одно, то другое m , получать новые состояния.

Пусть из j а и j b меньшим является j b (а если они одинаковы, возьмите любое из них); тогда понадобятся только 2 j b значений полного спина J , идущих единичными шагами от j а + j b вниз к j а - j b . Иначе говоря, когда объединяются два объекта со спинами j а и j b , то полный момент количества движения J их системы может равняться одному из значений:

(16.58)

(Написав | j a - j b | вместо j a - j b , мы можем избежать напоминания о том, что j a ≥ j b .)

Для каждого из этих значений J имеется 2J+1 состояний с различными значениями М ; М меняется от + J до - J . Каждое из них образовано из линейных комбинаций исходных состояний | а, m а ; b, m b > с соответствующими коэффициентами — коэффициентами Клебша—Гордона для каждого отдельного члена. Можно считать, что эти коэффициенты дают «количество» состояния | j a , m a ; j b , m b >, проявляющегося в состоянии | J,M >. Так что каждый из коэффициентов Клебша—Гордона обладает, если угодно, шестью индексами, указывающими его положение в формулах типа приведенных в табл. 16.3 и 16.6. Иначе говоря, обозначая, скажем, эти коэффициенты С ( J , М; j a , m a ; j b , m b ), можно выразить равенство во второй строчке табл. 16.6 так: