Ричард Фейнман - Том 3. Квантовая механика

Мы хотим обобщить этот результат на состояния, составленные из двух объектов а и b с произвольными спинами j а и j b . Начнем с разбора примера, когда j а = 1/ 2и j b =1, а именно с атома дейтерия, в котором частица а — это электрон е , а частица b — ядро, т. е. дейтрон d . Тогда j a = j e = 1/ 2. Дейтрон образован из одного протона и одного нейтрона в состоянии с полным спином 1, так что j b = j d =1. Мы хотим рассмотреть сверхтонкие состояния дейтерия, как мы сделали это для водорода. Поскольку у дейтрона может быть три состояния, m b = m d =+1, 0, -1, а у электрона — два, m а = m е =+ 1/ 2, - 1/ 2, то всего имеется шесть возможных состояний, а именно (используется обозначение | е, m e ; d, m d >):

(16.42)

Обратите внимание, что мы разверстали состояния согласно значениям суммы m e и m d в порядке ее убывания.

Спросим теперь: что случится с этими состояниями, если спроецировать их в другую систему координат? Если эту новую систему просто повернуть вокруг оси z на угол φ, то состояние | е, m e ; d, m d > умножается на

(16.43)

(Состояние можно считать произведением | е, m е >| d, m d >, и каждый вектор состояния независимо привнесет свой собственный экспоненциальный множитель.) Множитель (16.43) имеет форму е iM φ, поэтому z -компонента момента количества движения у состояния | е, m е ; d, m d > окажется равной

(16.44)

Иначе говоря, z - компонента полного момента количества движения есть сумма z - компонент моментов количества движения отдельных частей .

Значит, в перечне состояний (16.42) верхнее состояние имеет М =+ 3/ 2, два следующих М =+ 1/ 2, затем два М =- 1/ 2и последнее состояние М =- 3/ 2. Мы сразу же видим, что одной из возможностей для спина J объединенного состояния (для полного момента количества движения) должно быть 3/ 2, это потребует четырех состояний с М =+ 3/ 2, + 1/ 2, - 1/ 2и - 3/ 2. На М =+ 3/ 2есть только один кандидат, и мы сразу видим, что

(16.45)

Но что является состоянием | J = 3/ 2, М =+ 1/ 2>? Кандидатов здесь два, они стоят во второй строчке (16.42), и всякая их линейная комбинация тоже даст М =+ 1/ 2. Значит, в общем случае можно ожидать, что

(16.46)

где α и β — два числа. Их именуют коэффициенты Клебша — Гордона . Найти их и будет нашей очередной задачей.

И мы их легко найдем, если просто вспомним, что дейтрон состоит из нейтрона и протона, и в явном виде распишем состояния дейтрона, пользуясь правилами табл. 16.3. Если это проделать, то перечисленные в (16.42) состояния будут выглядеть так, как показано в табл. 16.4.

Таблица 16.4. СОСТОЯНИЯ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ АТОМА ДЕЙТЕРИЯ

Пользуясь состояниями из этой таблицы, мы хотим образовать четверку состояний с J = 3/ 2. Но ответ нам уже известен, потому что в табл. 16.1 уже стоят состояния со спином 3/ 2, образованные из трех частиц со спином 1/ 2. Первое состояние в табл. 16.1 имеет | J = 3/ 2, М =+ 3/ 2>, это |+++>, а в наших нынешних обозначениях это | e , + 1/ 2; n , + 1/ 2; p , + 1/ 2>, или первое состояние из табл. 16.4. Но это состояние — то же самое, что первое по списку в (16.42), так что наше выражение (16.45) подтверждается. Вторая строчка в табл. 16.1 утверждает, если воспользоваться нашими теперешними обозначениями, что

(16.47)

То, что стоит в правой части, можно, очевидно, составить из двух членов во второй строчке табл. 16.4, взяв √ 2/ 3от первого члена и √ 1/ 3от второго. Иначе говоря, (16.47) эквивалентно

(16.48)

Мы нашли два наших первых коэффициента Клебша—Гордона α, и β [см. (16.46)]:

(16.49)

Повторяя ту же процедуру, найдем

(16.50)

а также, конечно,

(16.51)

Это и есть правила составления из спина 1 и спина 1/ 2полного спина J = 3/ 2. Мы свели (16.45) и (16.50) в табл. 16.5.

Таблица 16.5. СОСТОЯНИЯ С J = 3/ 2АТОМА ДЕЙТЕРИЯ

Но у нас пока есть только четыре состояния, а у системы, которую мы рассматриваем, их шесть.

Из двух состояний во второй строчке (16.42) мы для образования | J = 3/ 2, М =+ 1/ 2> составили только одну линейную комбинацию. Есть и другая линейная комбинация, ортогональная к ней, у нее тоже М =+ 1/ 2и она имеет вид

(16.52)

Точно так же из двух состояний в третьей строке (16.42) можно скомбинировать два взаимно-ортогональных состояния, каждое с М =- 1/ 2. То, которое ортогонально к (16.50), имеет вид

(16.53)

это и есть два оставшихся состояния. У них M = m e + m d =± 1/ 2; эти состояния должны соответствовать J = 1/ 2. Итак, мы имеем

(16.54)

Можно убедиться, что эти два состояния действительно ведут себя как состояния объекта со спином 1/ 2; для этого надо выразить дейтронную часть через нейтронные и протонные состояния (при помощи табл. 16.3). Первое состояние в (16.53) превратится в