Ричард Фейнман - Том 3. Квантовая механика

В общем случае v разлагается на радиальную компоненту v r и на касательную компоненту r .θ, т. е.

Момент количества движения mr 2.θ тоже сохраняется; пусть он равняется L . Тогда можно написать

т. е. энергия равна

Если бы момента количества движения не было, у нас осталось бы только два первых члена. Добавление момента количества движения L изменяет энергию как раз так, как если бы к потенциальной энергии добавился член L 2/2 mr 2. Но он почти точно совпадает с добавкой (17.46). Единственная разница в том, что вместо ожидаемого числителя l 2 ℏ 2(этого можно было бы ожидать) появляется комбинация l ( l +1) ℏ 2Но мы еще раньше видели [например, в гл. 34, § 7 (вып. 7)], что это обычная замена, к которой всегда приходится прибегать, если хотят, чтобы квазиклассические рассуждения совпали с правильным квантовомеханическим расчетом. Поэтому новый член можно понимать как своего рода «потенциал», определяющий «центробежную силу» и возникающий в уравнениях радиального движения вращающейся системы [см. гл. 12, § 5 (вып. 1)].

Теперь мы уже можем решить уравнение (17.46) относительно F l ( r ). Оно очень похоже на (17.8), так что прибегнем к той же технике. Все повторяется вплоть до уравнения (17.19), в котором появится добавочный член

(17.47)

Его можно записать еще и так:

(17.48)

(Мы выделили первый член, а затем текущий индекс k сдвинули на единицу.) Вместо (17.20) появится

(17.49)

Поскольку член с ρ -1только один, то он должен обратиться в нуль. Коэффициент a 1должен быть равен нулю (если только l не равно нулю, но тогда мы приходим к нашему прежнему решению). А когда все квадратные скобки при любых k обратятся в нуль, то и все следующие члены станут равны нулю. Из-за этого условие (17.21) переходит в

(17.50)

Это единственное существенное видоизменение по сравнению со сферически симметричным случаем.

Как и раньше, ряд должен оборваться, если мы хотим, чтобы решения представляли связанные электроны. Если α n =1, то ряд оборвется на k = n . Условие на α получается таким же: α должно быть равно 1/ n , где n — целое число. Однако (17.50) приводит и к новому ограничению. Индекс k не может быть равен l , в противном случае знаменатель обратится в нуль, а а l +1— в бесконечность. Иначе говоря, поскольку a 1=0, то (17.50) подразумевает, что все последовательные a k обращаются в нуль, пока мы не придем к а l +1, которое может быть и не нулем. Это означает, что k должно начинаться с l +1 и кончаться на n .

Окончательный итог таков: при любом l имеется набор возможных решений, которые мы обозначим F n,l , где n > l +1. Каждое решение обладает энергией

(17.51)

Волновая функция состояния с такой энергией и с угловыми квантовыми числами l и m имеет вид

(17.52)

где

(17.53)

Коэффициенты a kполучаются из (17.50). Наконец-то в наших руках полное описание состояний атома водорода.

Посмотрим же, что мы открыли. Состояния, которые удовлетворяют уравнению Шредингера для электрона в кулоновом поле, характеризуются тремя (причем целыми) квантовыми числами n, l, m . Угловое распределение амплитуды электрона может обладать только определенными формами, которые мы обозначим Y l,m . Они нумеруются числом l — квантовым числом полного момента количества движения и m — « магнитным » квантовым числом , которое может меняться от - l до + l . При каждой угловой конфигурации возможны различные радиальные распределения F n,l (r) амплитуды электрона; они нумеруются главным квантовым числом n , которое может меняться от l +1 до ∞. Энергия состояния зависит только от n и растет с n .

Состояние наинизшей энергии, или основное, является s -состоянием. У него l =0, n =1 и m =0. Это «невырожденное» состояние: имеется только одно состояние с такой энергией, а волновая функция у него сферически симметрична. Амплитуда того, что электрон обнаружится, достигает максимума в центре и монотонно спадает с удалением от центра. Эту электронную амплитуду можно изобразить этаким комочком (фиг. 17.6, а ).

Фиг. 17.6. Наброски, отражающие общий характер волновых функций водорода. В заштрихованных местах амплитуды велики. Знаки плюс и минус — это относительные знаки амплитуд в каждой области.

Имеются и другие s-состояния, с большими энергиями; у них n =2, 3, 4, ... и l =0. Каждой энергии соответствует только одно состояние m =0, и все они сферически симметричны. Амплитуды этих состояний с ростом r один или несколько раз меняют знак. Имеется n -1 сферических узловых поверхностей, или мест, где ψ проходит через нуль. Например, 2 s -состояние ( l =0, n =2) выглядит так, как показано на фиг. 17.6, б . (Темные области указывают те места, где амплитуда велика, а знаки плюс и минус отмечают относительные фазы амплитуды.) Уровни энергии s-состояний показаны в первом столбце фиг. 17.7.