Ричард Фейнман - Том 3. Квантовая механика

Фиг. 17.7. Диаграмма уровней энергии водорода.

Затем бывают р -состояния с l =1. Для каждого n ( n равно или больше 2) существует тройка состояний с одинаковой энергией, одно с m =+1, другое с m =0, третье с m =-1. Уровни энергии отмечены на фиг. 17.7. Угловые зависимости этих состояний приведены в табл. 17.1. Так, при m =0, если амплитуда положительна для углов θ, близких к нулю, то при углах θ, близких к 180°, она окажется отрицательной. Имеется узловая плоскость, совпадающая с плоскостью ху . При n >1 бывают также конические узловые поверхности. Амплитуда n =2, m =0 намечена на фиг. 17.6, в , а волновая функция n =3, m =0 — на фиг. 17.6, г .

Могло бы показаться, что поскольку m дает, так сказать, «ориентацию» в пространстве, то должны наблюдаться еще такие же распределения, но с пиками вдоль оси х или вдоль оси у . Можно подумать, что это скорее всего состояния с m =+1 и с m =-1. Однако это не так! Но зато раз у нас есть тройка состояний с одинаковыми энергиями, то любая линейная комбинация из этой тройки тоже будет стационарным состоянием с той же энергией. Оказывается, что « x »-состояние (по аналогии с « z »-состоянием, или состоянием с m =0, см. фиг. 17.6, в ) это линейная комбинация состояний с m =+1 и с m =-1. Другая комбинация дает « y »-состояние. Точнее, имеется в виду, что состояния

если отнести их к своим осям, выглядят одинаково.

У d-состояний ( l =2) для каждой энергии есть пять возможных значений m ; наинизшей энергией обладает n =3. Уровни показаны на фиг. 17.7. Угловые зависимости усложняются. К примеру, состояния с m =0 обладают двумя коническими узловыми поверхностями, так что при переходе от северного полюса к южному волновая функция меняет фазы с + на — и обратно на +. Примерная форма амплитуды нарисована на фиг. 17.6, д и е для состояний с m =0 и n =3 и 4. И снова при больших n появляются конические узловые поверхности.

Мы не будем пытаться описывать другие последующие состояния. Подробное изложение волновых функций водорода вы найдете во многих книгах. Рекомендую вам особенно; L. Pauling, E.B.Wilson, Introduction to Quantum Mechanics, New York, 1935; R. B. Leightоn, Principles of Modern Physics, New York, 1959. В этих книгах вы найдете графики некоторых функций и графическое изображение многих состояний.

Хотелось бы упомянуть об одном особом свойстве волновых функций при высших l : при l >0 амплитуды обращаются в центре в нуль. Ничего в этом удивительного нет, ведь электрону трудно иметь большой момент, когда плечо момента очень мало. По этой причине чем l больше, тем дальше амплитуды «отталкиваются» от центра. Если вы посмотрите, как радиальные функции F ( r ) меняются при малых r , то из (17.53) окажется, что

Такая зависимость от r означает, что при больших l вам придется дальше отойти от r =0, чтобы получить заметную амплитуду. Такое поведение, кстати, определяется членом с центробежной силой в радиальном уравнении, так что все это применимо к любому потенциалу, который при малых r меняется медленнее, чем 1/r 2, а таково большинство атомных потенциалов.

Теперь мы хотели бы применить теорию атома водорода к объяснению химической периодической таблицы элементов. В атоме элемента с атомным номером Z имеется Z электронов, которые удерживаются электрическим притяжением ядра, но при этом взаимно отталкиваются друг от друга. Чтобы получить точное решение, пришлось бы решить уравнение Шредингера для Z электронов в кулоновом поле. Для гелия уравнение имеет вид

где ∇ 2 1— лапласиан, который действует на r 1, координату первого электрона; ∇ 2 2действует на r 2, а r 12=| r 1- r 2|. (Мы опять пренебрегаем спинами электронов.) Чтобы найти стационарные состояния и уровни энергии, следовало бы отыскать решения вида

Геометрическая зависимость заключена в f — функции шести переменных — одновременных положений двух электронов. Аналитического решения никто не знает, хотя решения для низших энергетических состояний и были найдены численными методами.

Когда электронов 3, 4 или 5, безнадежно пытаться получить точные решения. Поэтому было бы опрометчиво утверждать, что квантовая механика до конца объяснила периодическую таблицу. Но все же можно сказать, что даже с помощью довольно сомнительных приближений (и кое-какой последующей отделки) удается, по крайней мере качественно, понять многие химические свойства, проявляющиеся в периодической таблице.

Химические свойства атомов определяются в первую очередь их низшими энергетическими состояниями. Для отыскания этих состояний и их энергий мы воспользуемся следующей приближенной теорией. Во-первых, пренебрежем спином электрона, разве только что принцип запрета будет принят нами во внимание и мы будем считать, что каждое частное электронное состояние может быть занято только одним электроном. Это означает, что на одной орбите не может оказаться больше двух электронов — один со спином, направленным вверх, другой — вниз. Затем мы в первом приближении пренебрежем деталями взаимодействия электронов и будем считать, что каждый электрон движется в центральном поле , образуемом полями ядра и всех прочих электронов. Про неон, у которого 10 электронов, мы скажем, например, что каждый электрон в атоме неона испытывает влияние среднего потенциала ядра и оставшейся девятки электронов. Мы вообразим далее, что в уравнение Шредингера для каждого электрона мы подставляем V ( r ) — то же поле 1/ r , но только видоизмененное за счет сферически симметричной плотности заряда, возникшей от остальных электронов.

В такой модели каждый электрон ведет себя как независимая частица. Угловые зависимости его волновой функции будут попросту такими же, какие были у атома водорода. Это будут те же s -состояния, р -состояния и т. п., и у них будут различные значения m . Раз V ( r ) больше не следует закону 1/ r , то радиальная часть волновых функций слегка перекраивается, но качественно останется прежней, так что по-прежнему будет существовать радиальное квантовое число n . Энергии состояний тоже станут немного иными.