Ричард Фейнман - Том 3. Квантовая механика

(18.7)

где δ — малое смещение. Смещение состояния |ψ> вдоль оси х на небольшое расстояние δ дает новое состояние |ψ'>. Мы говорим, что это новое состояние есть старое состояние плюс еще новый кусочек

Операторы, о которых мы говорим сейчас, действуют на вектор состояния, скажем на |ψ>, являющийся абстрактным описанием физической ситуации. Это совсем не то, что алгебраические операторы, действующие на математические функции. Например, d / dx это «оператор», действие которого на f ( x ) создает из f ( x ) новую функцию f '( x )= df / dx . Другой пример алгебраического оператора — это ∇ 2. Можно понять, отчего в обоих случаях пользуются одним и тем же словом, но нужно помнить, что это разные типы операторов. Квантовомеханический оператор А действует не на алгебраическую функцию, а на вектор состояния, скажем на |ψ>. В квантовой механике употребляются и те и другие операторы, и часто, как вы увидите, в уравнениях сходного типа.

Когда вы впервые изучаете предмет, то все время надо иметь в виду эту разницу. А позднее, когда предмет вам станет ближе, вы увидите, что не так уж важно делать резкое различие между одними операторами и другими. И во многих книгах, как вы убедитесь, оба типа операторов обозначаются одинаково!

Теперь нам пора продвинуться вперед и узнать о многих полезных вещах, которые можно проделывать с помощью операторов. Но для начала небольшое замечание. Пускай у нас имеется оператор ^ A , матрица которого в каком-то базисе есть A ij ≡< i |^ A | j >. Амплитуда того, что состояние ^ A |ψ> находится также в некотором другом состоянии |φ>, есть <���φ|^ A |ψ>. Имеет ли смысл комплексное сопряжение этой амплитуды? Вы, вероятно, сможете показать, что

(18.8)

где ^ A †(читается «А с крестом») это оператор, матричные элементы которого равны

(18.9)

Иначе говоря, чтобы получить i, j -й элемент матрицы А †, вы обращаетесь к j, i -му элементу матрицы А (индексы переставлены) и комплексно его сопрягаете. Амплитуда того, что состояние ^ A †|φ> находится в состоянии |ψ>, комплексно сопряжена амплитуде того, что ^ A |ψ> находится в |φ>. Оператор ^ A †называется «эрмитово сопряженным» оператору ^ A . Многие важные операторы квантовой механики имеют специальное свойство: если вы их эрмитово сопрягаете, вы опять возвращаетесь к тому же оператору. Если В как раз такой оператор, то ^ В †=^ В ; его называют «самосопряженным», или «эрмитовым», оператором.

До сих пор мы в основном напоминали вам о том, что вы уже знаете. А теперь перейдем к новому. Как бы вы подсчитали среднюю энергию системы, скажем, атома? Если атом находится в определенном состоянии с определенной энергией и вы эту энергию измеряете, то вы получите определенную энергию Е . Если вы начнете повторять измерения с каждым из множества атомов, которые отобраны так, чтобы быть всем в одинаковом состоянии, то все измерения дадут вам Е , и «среднее» изо всех ваших измерений тоже, конечно, окажется Е .

Но что случится, если вы проделаете свои измерения над состоянием |ψ>, которое не является стационарным? Раз у системы нет определенной энергии, то одно измерение даст одну энергию, то же измерение над другим атомом в том же состоянии даст другую и т. д. Каким же окажется среднее всей серии измерений энергии?

На этот вопрос мы ответим, если возьмем проекцию состояния |ψ> на систему состояний с определенной энергией. Чтобы помнить, что это особый базис, будем обозначать эти состояния |η i >. Каждое из состояний |η i > обладает определенной энергией E i . В этом представлении

(18.10)

Когда вы проделываете измерение энергии и получаете некоторое число Е i , вы тем самым обнаруживаете, что система была в состоянии |η i >. Но в каждом новом измерении вы можете получить новое число. Иногда вы получите E 1, иногда Е 2, иногда Е 3и т. д. Вероятность , что вы обнаружите энергию E 1, равна попросту вероятности обнаружить систему в состоянии |η 1>, т. е. квадрату модуля амплитуды С 1=<���η 1|ψ>. Вероятность обнаружить то или иное возможное значение энергии E i есть

(18.11)

Как же связать эти вероятности со средним значением всей последовательности измерений энергий? Вообразим, что мы получили ряд результатов измерений, например E 1, Е 7, E 11, Е 9, E 1, E 10, Е 7, E 2, Е 3, Е 9, Е 6, E 4и т. д., всего тысяча измерений. Сложим все энергии и разделим на 1000. Это и есть среднее. Можно сложение проделать и покороче. Посчитайте, сколько раз у вас вышло E 1(скажем, оно вышло N 1раз), сколько раз вышло Е 2(скажем, N 2раз) и т. д. Ясно, что сумма всех энергий равна

Средняя энергия равна этой сумме, деленной на полное число измерений, т. е. на сумму всех N i , которую мы обозначим N :

(18.12)

Мы почти у цели. Под вероятностью какого-нибудь события мы понимаем как раз число случаев, когда ожидается наступление этого события, деленное на общее число испытаний. Отношение N i / N должно (при больших N ) мало отличаться от P i — вероятности обнаружить состояние |η i >, хоть и не будет точно совпадать с Р i из-за статистических флуктуации. Обозначим предсказываемую (или «ожидаемую») среднюю энергию < E > ср; тогда мы вправе сказать

(18.13)

Те же рассуждения подойдут к измерениям каких угодно величин. Среднее значение измеряемой величины А должно равняться