Ричард Фейнман - Том 3. Квантовая механика

где A i —различные допустимые значения наблюдаемой величины, а Р i — вероятность получения этого значения.

Вернемся теперь к нашему квантовомеханическому состоянию |ψ>. Его средняя энергия равна

(18.14)

А теперь следите внимательно! Сначала перепишем эту сумму так:

(18.15)

Теперь будем рассматривать левое <���ψ| как общий множитель.

Вынесем его за знак суммы и напишем

Это выражение имеет вид <���ψ|φ>, где |φ> — некоторое «придуманное» состояние, определяемое равенством

(18.16)

Иными словами, это то состояние, которое у вас получится, если вы возьмете каждое базисное состояние |η i > в количестве Е i <���η i |ψ>.

Но вспомним теперь, что такое |η i >. Состояния |η i > считаются стационарными, т. е. для каждого из них

А раз Е i —просто число, то правая часть совпадает с |η i > Е i , а сумма в (18.16) — с

Теперь приходится просуммировать по i общеизвестную комбинацию, приводящую к единице:

Чудесно, уравнение (18.16) совпало с

(18.17)

Средняя энергия состояния |ψ> записывается, стало быть, в очень привлекательном виде

(18.18)

Чтобы получить среднюю энергию, подействуйте на |ψ> оператором ^ H и затем умножьте на <���ψ|. Очень простой результат. Наша новая формула для средней энергии не только привлекательна, но и полезна. Теперь нам уже не надо ничего говорить об особой системе базисных состояний. И даже всех уровней энергии знать не нужно. При расчете достаточно выразить наше состояние через какую угодно совокупность базисных состояний, и, если мы знаем гамильтонову матрицу Н ij для этой совокупности, мы уже сможем узнать среднюю энергию. Уравнение (18.18) говорит, что при любой совокупности базисных состояний | i > средняя энергия может быть вычислена из

(18.19)

где амплитуды < i | H | j > как раз и есть элементы матрицы H ij .

Проверим это на том частном примере, когда состояния | i > суть состояния с определенной энергией. Для них ^ H | j >= E | j >, так что < i |^ H | j >= E j δ ij и

что вполне естественно.

Уравнение (18.19) можно, кстати, обобщить и на другие физические измерения, которые вы в состоянии выразить в виде оператора. Например, пусть ^ L z есть оператор z -компоненты момента количества движения L. Средняя z -компонента для состояния |ψ> равна

Один из способов доказательства этой формулы — придумать такую задачу, в которой энергия пропорциональна моменту количества движения. Тогда все рассуждения просто повторятся. Подытоживая, скажем, что если физически наблюдаемая величина А связана с соответствующим квантовомеханическим оператором ^ A , то среднее значение А в состоянии |ψ> дается формулой

(18.20)

Под этим подразумевается

(18.21)

где

(18.22)

Пусть мы хотим узнать среднюю энергию атома в состоянии, описываемом волновой функцией ψ( r); как же ее найти? Рассмотрим сперва одномерную задачу, когда состояние |ψ> определяется амплитудой < x |ψ>=ψ( x ). Нас интересует частный случай применения уравнения (18.19) к координатному представлению. Следуя нашей обычной процедуре, заменим состояния | i > и | j > на | х > и | х '> и сумму на интеграл. Мы получим

(18.23)

Этот интеграл можно при желании записывать иначе:

где

(18.25)

Интеграл по х ' в (18.25) тот же самый, что встречался нам в гл. 14 [см. (14.50) и (14.52)]. Он равен

Поэтому можно написать

(18.26)

Вспомним, что <���ψ| x >=< x |ψ>*=ψ*( x ); с помощью этого равенства среднее значение энергии в (18.23) можно записать в виде

(18.27)

Если волновая функция ψ( x ) известна, то, взяв этот интеграл, вы получите среднюю энергию. Вы теперь начинаете понимать, как от представлений о волновом векторе можно перейти к представлению о волновой функции и обратно.