Ричард Фейнман - Том 3. Квантовая механика

Мы видели раньше, что P ( x )=|ψ( x )| 2=ψ*( x )ψ( х ), значит, среднее х можно записать в виде

(18.33)

Наше уравнение для < x > сримеет тот же вид, что (18.18). Когда мы считали среднюю энергию, мы ставили между двумя ψ оператор ^ℋ, а когда считаем среднее положение, ставим просто х . (Если угодно, можете рассматривать х как алгебраический оператор «умножь на х ».) Эту параллель можно провести еще дальше, выразив среднее местоположение в форме, которая соответствует уравнению (18.18). Предположим, что мы просто написали

(18.34)

где

(18.35)

и смотрим, не удастся ли найти такой оператор х , чтобы он создавал состояние |α>, при котором уравнение (18.34) не противоречит уравнению (18.33). Иначе говоря, мы должны найти такое |α>, чтобы было

(18.36)

Разложим сперва <���ψ|α> по x -представлению:

(18.37)

Сравним затем интегралы в (18.36) и (18.37). Вы видите, что в х - представлении (и только в этом представлении)

(18.38)

Воздействие на |ψ> оператора ^ x для получения |α> равнозначно умножению ψ( x )=< x |ψ> на х для получения α( х )=< x |α>. Перед нами определение оператора ^ x в координатном представлении [85] Уравнение (18.38) не означает , что |α>=x|ψ> [ср. (18.35)]. Сокращать на <���х| нельзя, потому что множитель х перед для каждого состояния <���х| имеет свое значение. Это — значение координаты электрона в состоянии |х> [см. (18.40)]. .

(Мы не задавались целью получить x -представление матрицы оператора ^ x . Если вы честолюбивы, попытайтесь показать, что

(18.39)

Тогда вы сможете доказать поразительную формулу

(18.40)

т. е. что оператор ^ x обладает интересным свойством: когда он действует на базисное состояние | x >, то это равнозначно умножению на х .)

А может, вы хотите знать среднее значение x 2? Оно равно

(18.41)

Или, если желаете, можно написать и так:

где

(18.42)

Под ^ x 2подразумевается ^ x ^ x — два оператора применяются друг за другом. С помощью (18.42) можно подсчитать < x 2> ср, пользуясь каким угодно представлением (базисными состояниями). Если вам нужно знать среднее значение х n или любого многочлена по х , то вы легко это теперь проделаете.

Теперь мы хотим рассчитать средний импульс электрона, опять начав с одномерного случая. Пусть Р ( р ) dp — вероятность того, что измерение приведет к импульсу в интервале между р и p + dp . Тогда

(18.43)

Обозначим теперь через < р |ψ> амплитуду того, что состояние |ψ> есть состояние с определенным импульсом | р >. Это та же самая амплитуда, которую в гл. 14, § 3, мы обозначали <���имп. р |ψ>; она является функцией от р , как < x |ψ> является функцией от х . Затем мы выберем такую нормировку амплитуды, чтобы было

(18.44)

Тогда получится

(18.45)

что очень похоже на то, что мы имели для < x > ср.

При желании можно продолжить ту же игру, которой мы предавались с < x > ср. Во-первых, этот интеграл можно записать так:

(18.46)

Теперь вы должны узнать в этом уравнении разложение амплитуды <���ψ|β> — разложение по базисным состояниям с определенным импульсом. Из (18.45) следует, что состояние |β> определяется в импульсном представлении уравнением

(18.47)

Иначе говоря, теперь можно писать

(18.48)

причем

(18.49)

где оператор ^ p определяется на языке p -представления уравнением (18.47).

[И опять при желании можно показать, что матричная запись ^ p такова:

(18.50)

и что

(18.51)

Выводится это так же, как и для х .

Теперь возникает интересный вопрос. Мы можем написать < р > сртак, как мы это сделали в (18.45) и (18.48); смысл оператора ^ p в импульсном представлении нам тоже известен. Но как истолковать ^ p в координатном представлении ? Это бывает нужно знать, если у нас есть волновая функция ψ( x ) и мы собираемся вычислить ее средний импульс. Позвольте более четко пояснить, что имеется в виду. Если мы начнем с того, что зададим < p > cpуравнением (18.48), то это уравнение можно будет разложить по p -представлению и вернуться к (18.45). Если нам задано p -представление состояния, а именно амплитуда < p |ψ> как алгебраическая функция импульса p , то из (18.47) можно получить < p |β> и продолжить вычисление интеграла. Вопрос теперь в следующем: а что делать, если нам задано описание состояния в x -представлении, а именно волновая функция ψ( x )=< x |ψ>?