Ричард Фейнман - Том 3. Квантовая механика

(3.24)

где i должно пробегать по всем трем базисным состояниям некоторого определенного фильтра.

Хочется опять подчеркнуть, что мы понимаем под базисными состояниями. Они напоминают тройку состояний, которые можно отобрать с помощью одного из наших приборов Штерна—Герлаха. Одно условие состоит в том, что если у вас есть базисное состояние, то будущее не зависит от прошлого. Другое условие — что если у вас есть полная совокупность базисных состояний, то формула (3.24) справедлива для любой совокупности начальных и конечных состояний φ и χ. Но не существует никакой особой совокупности базисных состояний. Мы начали с рассмотрения базисных состояний по отношению к прибору Т . В равной мере мы бы могли рассмотреть другую совокупность базисных состояний — по отношению к прибору S , к прибору R и т. д [9] И в самом деле, для атомных систем с тремя или более базисными состояниями существуют другие типы фильтров (совершенно непохожие на приборы Штерна —Герлаха), которые можно было бы употребить для выбора других совокупностей базисных состояний (но при том же общем иx числе). . Мы обычно говорим о базисных состояниях «в каком-то представлении».

Другое требование к совокупности базисных состояний (в том или ином частном представлении) заключается в том, что им положено полностью отличаться друг от друга. Под этим мы понимаем, что если имеется состояние (+ T ), то для него нет амплитуды перейти в состояние (0 Т ) или (- Т ). Если i и j обозначают два базисных состояния в некотором представлении, то общие правила, которые мы обсуждали в связи с (3.8), говорят, что

для любых неравных между собой i и j . Конечно, мы знаем, что

Эти два уравнения обычно пишут так:

(3.25)

где δ ij(«символ Кронекера») — символ, равный по определению нулю при i ≠ j и единице при i = j .

Уравнение (3.25) не независимо от остальных законов, о которых мы упоминали. Бывает, что нас не особенно интересует математическая задача поиска наименьшей совокупности независимых аксиом, из которых все законы проистекут как следствия. Нам вполне достаточно обладать совокупностью, которая полна и по виду непротиворечива. Однако мы беремся показать, что (3.25) и (3.24) не независимы. Пусть φ в (3.24) представляет одно из базисных состояний той же совокупности, что и i, скажем j - e состояние; тогда мы имеем

Но (3.25) утверждает, что < i | j > равно нулю, если только i не равно j , так что сумма обращается просто в <���χ| j > и получается тождество, что говорит о том, что эти два закона не независимы.

Можно видеть, что если справедливы оба уравнения (3.25) и (3.24), то между амплитудами должно существовать еще одно соотношение. Уравнение (3.10) имело вид

Если теперь посмотреть на (3.24) и предположить, что и φ, и χ — это состояние (+ S ), то слева получится <+S|+ S >, а это, конечно, равно единице, и мы должны получить (3.19)

Эти два уравнения согласуются друг с другом (для всех относительных ориентации приборов Т и S ) только тогда, когда

Стало быть, для любых состояний φ и χ

(3.26)

Если бы этого не было, вероятности «не сохранились бы» и частицы «терялись бы».

Прежде чем идти дальше, соберем все три общих закона для амплитуд, т. е. (3.24) —(3.26):

(3.27)

В этих уравнениях i и j относятся ко всем базисным состояниям какого-то одного представления, тогда как φ и χ — это любое возможное состояние атома. Важно отметить, что закон II справедлив лишь тогда, когда суммирование проводится по всем базисным состояниям системы (в нашем случае по трем: + Т , 0 Т , - Т ). Эти законы ничего не говорят о том, что следует избирать в качестве базиса. Мы начали с прибора Т , который является опытом Штерна—Герлаха с какой-то произвольной ориентацией, но и всякая другая ориентация, скажем W , тоже подошла бы. Вместо i и j нам пришлось бы ставить другую совокупность базисных состояний, но все законы остались бы правильными; какой-то единственной совокупности не существует. Успех в квантовой механике часто определяется тем, умеете ли вы использовать тот факт, помня, что расчет можно вести из-за этого разными путями.

Мы покажем вам сейчас, почему полезны эти законы. Пусть у нас есть атом в заданном состоянии (под этим мы подразумеваем, что он как-то был приготовлен), и мы хотим знать, что с ним будет в таком-то опыте. Иными словами, мы начинаем с состояния φ атома и хотим знать, каковы шансы , что он пройдет через прибор, который пропускает атомы только в состоянии χ. Законы говорят, что мы можем полностью описать прибор тремя комплексными числами <���χ| i > — амплитудами того, что каждое из базисных состояний окажется в состоянии χ, и что мы, пустив атом в прибор, можем предсказать, что произойдет, если опишем состояние атома, задав три числа < i |φ>, — амплитуды того что атом из своего первоначального состояния перейдет в любое из трех базисных состояний. Это очень и очень важная идея. Рассмотрим другую иллюстрацию. Подумаем о следующей задаче. Начинаем с прибора S , затем имеется какая-то сложная мешанина, которую мы обозначаем A , а дальше стоит прибор R :

(3.28)

Под А мы подразумеваем любое сложное расположение приборов Штерна—Герлаха — с перегородками и полуперегородками, под всевозможными углами, с необычными электрическими и магнитными полями, — словом, годится все, что вам придет в голову. (Очень приятно ставить мысленные эксперименты — тогда нас не тревожат никакие заботы, возникающие при реальном сооружении приборов!) Задача состоит в следующем: с какой амплитудой частица, входящая в область A в состоянии (+ S ), выйдет из него в состоянии (0 R ), так что сможет пройти через последний фильтр R ? Имеется стандартное обозначение для такой амплитуды: